Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
  1. y'' - y = 0, x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos a equação diferencial e precisamos encontrar soluções usando séries de potências em torno de . Para isso, vamos lembrar que uma série de potências tem a forma:
Aqui, são os coeficientes que vamos determinar. Precisamos encontrar uma relação de recorrência para esses coeficientes e, em seguida, os primeiros termos das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a série de potências na equação diferencial. Calculando as derivadas:
Substituindo e y na equação :
Vamos alinhar os índices para facilitar:
Isso nos dá a relação de recorrência:

Passo 3

Agora que temos a relação de recorrência, vamos encontrar os quatro primeiros termos de duas soluções distintas, chamadas e .
Para isso, precisamos escolher valores iniciais diferentes para e .
Primeira solução ( ): Vamos começar com e .
Usando a relação de recorrência:
  • E assim por diante.
Então, a primeira solução é:
Segunda solução ( ): Agora, começamos com e .
Usando a relação de recorrência:
  • E assim por diante.
Então, a segunda solução é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o wronskiano para mostrar que e formam um conjunto fundamental de soluções. O wronskiano é dado por:
Vamos calcular em :
Primeiro, as derivadas:
Agora, avaliando em x = 0:
Substituindo no wronskiano:
Como o wronskiano é diferente de zero, e são soluções linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 5

Por fim, se observarmos as soluções encontradas, podemos notar um padrão que nos permite identificar o termo geral de cada série.
Para :
Para :
Essas são as expansões em séries de potências das funções hiperbólicas e , respectivamente.

Resposta

As quatro primeiras soluções são:
E o wronskiano em é , mostrando que e formam um conjunto fundamental de soluções. O termo geral das soluções é:

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Resolva as seguintes equações:
2 sen(theta) - csc(theta) = 1
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Prove que: Se (a_n)_{n ∈ N} é uma sequência monótona decrescente e não limitada, então a_n -> -infinito.
Simplifique, usando quadrados notáveis, as seguintes expressões:
16 a^2 - 8 a b + b^2.