Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
e
(a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano
, mostre que
e
formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
-
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos a equação diferencial
e precisamos encontrar soluções usando séries de potências em torno de
. Para isso, vamos lembrar que uma série de potências tem a forma:
Aqui,
são os coeficientes que vamos determinar. Precisamos encontrar uma relação de recorrência para esses coeficientes e, em seguida, os primeiros termos das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a série de potências na equação diferencial. Calculando as derivadas:
Substituindo
e
na equação
:
Vamos alinhar os índices para facilitar:
Isso nos dá a relação de recorrência:
Passo 3
Agora que temos a relação de recorrência, vamos encontrar os quatro primeiros termos de duas soluções distintas, chamadas
e
.
Para isso, precisamos escolher valores iniciais diferentes para
e
.
Primeira solução (
): Vamos começar com
e
.
Usando a relação de recorrência:
-
-
-
- E assim por diante.
Então, a primeira solução é:
Segunda solução (
): Agora, começamos com
e
.
Usando a relação de recorrência:
-
-
-
- E assim por diante.
Então, a segunda solução é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o wronskiano
para mostrar que
e
formam um conjunto fundamental de soluções. O wronskiano é dado por:
Vamos calcular em
:
Primeiro, as derivadas:
Agora, avaliando em
:
Substituindo no wronskiano:
Como o wronskiano é diferente de zero,
e
são soluções linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental de soluções.
Passo 5
Por fim, se observarmos as soluções encontradas, podemos notar um padrão que nos permite identificar o termo geral de cada série.
Para
:
Para
:
Essas são as expansões em séries de potências das funções hiperbólicas
e
, respectivamente.
Resposta
As quatro primeiras soluções são:
E o wronskiano em
é
, mostrando que
e
formam um conjunto fundamental de soluções. O termo geral das soluções é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações:
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries:
.
Prove que: Se
é uma sequência monótona decrescente e não limitada, então
.
Simplifique, usando quadrados notáveis, as seguintes expressões:
.