Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sen x=sumn >= 0(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!.

Passo 1

Então, a gente tem uma série que representa a função seno, dada por:
sen x = sumn >= 0 (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
O que queremos é descobrir qual é o raio de convergência dessa série e em qual intervalo ela converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Nesse caso, o termo geral an = (-1)^n x^2n+1(2n+1)! é:
O Teste da Razão diz que a série converge se o limite da razão for menor que 1 quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular essa razão:
| an+1an | = | (-1)^n+1 x^2(n+1)+1(2(n+1)+1)!(-1)^n x^2n+1(2n+1)! |
Simplificando os termos:
O valor absoluto elimina o = | -1 cdot x^2n+3(2n+3)! cdot (2n+1)!x^2n+1 | , então:
= x^2(2n+3)(2n+2)

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando limn to infty x^2(2n+3)(2n+2) = limn to infty x^24n^2 + 10n + 6 = 0 tende ao infinito:
Como o limite é 0, que é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série converge para todo valor de .

Resposta

O raio de convergência da série é infinito e o intervalo de convergência é (todos os números reais).

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