Defina o raio e o intervalo de convergência das séries:
.
Passo 1
Então, a gente tem uma série que representa a função seno, dada por:
O que queremos é descobrir qual é o raio de convergência dessa série e em qual intervalo ela converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Nesse caso, o termo geral
é:
O Teste da Razão diz que a série converge se o limite da razão
for menor que 1 quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular essa razão:
Simplificando os termos:
O valor absoluto elimina o
= | -1 cdot x^2n+3(2n+3)! cdot (2n+1)!x^2n+1 | , então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
limn to infty x^2(2n+3)(2n+2) = limn to infty x^24n^2 + 10n + 6 = 0 tende ao infinito:
Como o limite é 0, que é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série converge para todo valor de
.
Resposta
O raio de convergência da série é infinito e o intervalo de convergência é
(todos os números reais).
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações:
(tan(theta) - 1)(4 * sen^2(theta) - 3) = 0
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries:
sum n!x^nn^n .
Resolva as seguintes equações:
2 sen(theta) - csc(theta) = 1
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dadox_0 ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluçõesy1 e
y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskianoW[y1, y2](x0) , mostre que
y1 e
y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
-
y'' - y = 0, x0 = 0