Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sen x=sumn >= 0(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!.

Passo 1

Então, a gente tem uma série que representa a função seno, dada por:
sen x = sumn >= 0 (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
O que queremos é descobrir qual é o raio de convergência dessa série e em qual intervalo ela converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Nesse caso, o termo geral an = (-1)^n x^2n+1(2n+1)! é:
O Teste da Razão diz que a série converge se o limite da razão for menor que 1 quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular essa razão:
| an+1an | = | (-1)^n+1 x^2(n+1)+1(2(n+1)+1)!(-1)^n x^2n+1(2n+1)! |
Simplificando os termos:
O valor absoluto elimina o = | -1 cdot x^2n+3(2n+3)! cdot (2n+1)!x^2n+1 | , então:
= x^2(2n+3)(2n+2)

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando limn to infty x^2(2n+3)(2n+2) = limn to infty x^24n^2 + 10n + 6 = 0 tende ao infinito:
Como o limite é 0, que é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série converge para todo valor de .

Resposta

O raio de convergência da série é infinito e o intervalo de convergência é (todos os números reais).

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações:
(tan(theta) - 1)(4 * sen^2(theta) - 3) = 0
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sum n!x^nn^n.
Resolva as seguintes equações:
2 sen(theta) - csc(theta) = 1
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
  1. y'' - y = 0, x0 = 0