Prove que: Se
é uma sequência monótona decrescente e não limitada, então
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos uma sequência
que é monótona decrescente e não limitada. Queremos provar que
tende a
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona decrescente e não limitada, além de aplicar o conceito de limites no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência monótona decrescente. Isso significa que cada termo da sequência é menor ou igual ao termo anterior. Matematicamente, para todo
, temos:
Ou seja, a sequência está sempre “descendo”.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa a sequência ser não limitada. Uma sequência não limitada “para baixo” significa que não existe um número real que seja menor do que todos os termos da sequência. Formalmente, para qualquer número real
, existe um termo
na sequência tal que:
Isso indica que a sequência pode continuar diminuindo sem parar.
Passo 4
Queremos provar que
. Por definição, isso significa que para qualquer número real
, por mais negativo que seja, existe um índice
tal que para todo
, temos:
Ou seja, os termos da sequência ficam arbitrariamente pequenos (muito negativos).
Passo 5
Como a sequência é monótona decrescente e não limitada, sabemos que ela não para de diminuir. Portanto, para qualquer
que escolhermos, como a sequência não é limitada, sempre existirá um termo
que seja menor que
. Isso satisfaz a definição de que
pode ficar menor que qualquer número real, não importa quão baixo seja.
Passo 6
Com base nisso, concluímos que, à medida que
aumenta, os termos da sequência
continuam diminuindo sem parar, indo além de qualquer limite inferior
que escolhermos. Portanto, a sequência tende a
.
Resposta
A sequência
tende a
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado $x_{0}$; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções $y_{1}$ e $y_{2}$ (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano $W\left[y_{1}, y_{2}\right]\left(x_{0}\right)$, mostre que $y_{1}$ e $y_{2}$ formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
1. $y^{\prime \prime}-y=0, x_{0}=0$
Resolva as seguintes equações:
Simplifique, usando quadrados notáveis, as seguintes expressões:
.
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e
(a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano , mostre que
e
formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
6.
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
6.