Prove que: Se (a_n)_{n ∈ N} é uma sequência monótona decrescente e não limitada, então a_n -> -infinito.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos uma sequência que é monótona decrescente e não limitada. Queremos provar que tende a -infinito. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona decrescente e não limitada, além de aplicar o conceito de limites no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência monótona decrescente. Isso significa que cada termo da sequência é menor ou igual ao termo anterior. Matematicamente, para todo n in N, temos:
Ou seja, a sequência está sempre “descendo”.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa a sequência ser não limitada. Uma sequência não limitada “para baixo” significa que não existe um número real que seja menor do que todos os termos da sequência. Formalmente, para qualquer número real M, existe um termo na sequência tal que:
Isso indica que a sequência pode continuar diminuindo sem parar.

Passo 4

Queremos provar que . Por definição, isso significa que para qualquer número real K, por mais negativo que seja, existe um índice N tal que para todo , temos:
Ou seja, os termos da sequência ficam arbitrariamente pequenos (muito negativos).

Passo 5

Como a sequência é monótona decrescente e não limitada, sabemos que ela não para de diminuir. Portanto, para qualquer K que escolhermos, como a sequência não é limitada, sempre existirá um termo que seja menor que K. Isso satisfaz a definição de que pode ficar menor que qualquer número real, não importa quão baixo seja.

Passo 6

Com base nisso, concluímos que, à medida que n aumenta, os termos da sequência continuam diminuindo sem parar, indo além de qualquer limite inferior K que escolhermos. Portanto, a sequência tende a -infinito.

Resposta

A sequência tende a -infinito, ou seja, .

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Resolva as seguintes equações:
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a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
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