Resolva as seguintes equações:
2 sen(theta) - csc(theta) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Aqui, vamos usar trigonometria, especificamente as relações que envolvem o seno e a cosecante. Para isso, precisamos lembrar que é o inverso do seno, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por na equação:

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos considerar . Assim, a equação fica:

Passo 4

Vamos multiplicar todos os termos por para eliminar o denominador:

Passo 5

Agora, vamos rearranjar a equação para formar uma equação quadrática:

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções para :

Passo 7

Lembrando que , temos:

Passo 8

Resolvendo cada caso:
  1. ocorre quando , onde é um inteiro.
  2. ocorre quando ou , onde é um inteiro.

Resposta

As soluções da equação são:
é

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Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
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Prove que: Se (a_n)_{n ∈ N} é uma sequência monótona decrescente e não limitada, então a_n -> -infinito.