Resolva as seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
. Aqui, vamos usar trigonometria, especificamente as relações que envolvem o seno e a cosecante. Para isso, precisamos lembrar que
é o inverso do seno, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
na equação:
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos considerar
. Assim, a equação fica:
Passo 4
Vamos multiplicar todos os termos por
para eliminar o denominador:
Passo 5
Agora, vamos rearranjar a equação para formar uma equação quadrática:
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções para
:
Passo 7
Lembrando que
, temos:
Passo 8
Resolvendo cada caso:
-
ocorre quando , onde é um inteiro. -
ocorre quando ou , onde é um inteiro.
Resposta
As soluções da equação são:
Exercícios relacionados
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries:
.
Resolva as seguintes equações:
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e
(a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano , mostre que
e
formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Prove que: Se
é uma sequência monótona decrescente e não limitada, então
.