Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
e
(a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano
, mostre que
e
formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
6.
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
6.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o Problema 6 juntos! A equação diferencial que queremos resolver é:
Estamos trabalhando com séries de potências, e o ponto em torno do qual vamos expandir é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar séries de potências que satisfaçam a equação diferencial, determinar as relações de recorrência entre os coeficientes e, em seguida, encontrar as soluções fundamentais.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessa série para substituir na equação diferencial.
Passo 3
Calculando a primeira e a segunda derivadas de
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação diferencial:
Vamos distribuir
na série:
Passo 5
Vamos fazer as mudanças de índice para alinhar os termos:
Para o primeiro termo, deixe como está:
Para o segundo termo, substitua
por
:
E o terceiro termo permanece:
Agora, reescrevemos a equação:
Passo 6
Vamos ajustar os índices para que todas as séries comecem em
:
Primeiro, para o primeiro termo, substitua
por
:
O segundo termo começa em
, então mantemos:
E o terceiro termo:
Agora, a equação fica:
Passo 7
Para que essa equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem somar zero. Vamos igualar os coeficientes de
a zero:
Para
:
Para
:
Simplificando:
Essa é a nossa relação de recorrência!
Passo 8
Agora, vamos encontrar os quatro primeiros termos para cada solução
e
. Precisamos determinar os coeficientes
usando a relação de recorrência.
Vamos considerar duas soluções diferentes, assumindo diferentes valores para
e
.
Solução
:
Vamos escolher
e
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, os primeiros termos de
são:
Solução
:
Vamos escolher
e
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, os primeiros termos de
são:
Passo 9
Agora, vamos calcular o wronskiano
. O wronskiano é dado por:
Primeiro, calculamos as derivadas de
e
:
Avaliado em
:
Então:
Como o wronskiano é diferente de zero, isso mostra que
e
são soluções linearmente independentes, formando um conjunto fundamental de soluç��es.
Passo 10
Finalmente, se possível, encontramos o termo geral de cada solução. Observando os padrões dos coeficientes:
Para
:
Os coeficientes parecem estar relacionados com os termos pares:
Podemos expressar o termo geral como uma função conhecida, que é relacionada a funções de Bessel ou outras séries especiais, mas para simplificação, mantemos a expressão até os termos calculados.
Para
:
Os coeficientes também seguem um padrão semelhante, com os termos ímpares:
Assim, o termo geral também pode ser representado de forma similar à
, porém focando nos termos ímpares.
Resposta
Encontramos duas soluções em séries de potências para a equação
em torno de
:
O wronskiano
mostra que
e
formam um conjunto fundamental de soluções. Além disso, identificamos os primeiros termos de cada solução, estabelecendo a base para encontrar os termos gerais das séries.
Exercícios relacionados
Simplifique, usando quadrados notáveis, as seguintes expressões:
.
Prove que: Se
é uma sequência monótona decrescente e não limitada, então
.
Prove que: Se
, para todo
, e
, então
.
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e
(a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano , mostre que
e
formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
5. uma constante
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
5.