Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
6. (1 - x) y'' + y = 0, x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o Problema 6 juntos! A equação diferencial que queremos resolver é:
Estamos trabalhando com séries de potências, e o ponto em torno do qual vamos expandir é . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar séries de potências que satisfaçam a equação diferencial, determinar as relações de recorrência entre os coeficientes e, em seguida, encontrar as soluções fundamentais.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessa série para substituir na equação diferencial.

Passo 3

Calculando a primeira e a segunda derivadas de y:

Passo 4

Substituindo e y na equação diferencial:
Vamos distribuir na série:

Passo 5

Vamos fazer as mudanças de índice para alinhar os termos:
Para o primeiro termo, deixe como está:
Para o segundo termo, substitua n por n + 1:
E o terceiro termo permanece:
Agora, reescrevemos a equação:

Passo 6

Vamos ajustar os índices para que todas as séries comecem em n = 0:
Primeiro, para o primeiro termo, substitua n por :
O segundo termo começa em n = 1, então mantemos:
E o terceiro termo:
Agora, a equação fica:

Passo 7

Para que essa equação seja válida para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem somar zero. Vamos igualar os coeficientes de a zero:
Para n = 0:
Para n ≥ 1:
Simplificando:
Essa é a nossa relação de recorrência!

Passo 8

Agora, vamos encontrar os quatro primeiros termos para cada solução e . Precisamos determinar os coeficientes usando a relação de recorrência.
Vamos considerar duas soluções diferentes, assumindo diferentes valores para e .
Solução :
Vamos escolher e .
  • Para n = 0:
  • Para n = 1:
  • Para n = 2:
Então, os primeiros termos de são:
Solução :
Vamos escolher e .
  • Para n = 0:
  • Para n = 1:
  • Para n = 2:
Então, os primeiros termos de são:

Passo 9

Agora, vamos calcular o wronskiano . O wronskiano é dado por:
Primeiro, calculamos as derivadas de e :
Avaliado em :
Então:
Como o wronskiano é diferente de zero, isso mostra que e são soluções linearmente independentes, formando um conjunto fundamental de soluç��es.

Passo 10

Finalmente, se possível, encontramos o termo geral de cada solução. Observando os padrões dos coeficientes:
Para :
Os coeficientes parecem estar relacionados com os termos pares:
Podemos expressar o termo geral como uma função conhecida, que é relacionada a funções de Bessel ou outras séries especiais, mas para simplificação, mantemos a expressão até os termos calculados.
Para :
Os coeficientes também seguem um padrão semelhante, com os termos ímpares:
Assim, o termo geral também pode ser representado de forma similar à , porém focando nos termos ímpares.

Resposta

Encontramos duas soluções em séries de potências para a equação em torno de :
O wronskiano mostra que e formam um conjunto fundamental de soluções. Além disso, identificamos os primeiros termos de cada solução, estabelecendo a base para encontrar os termos gerais das séries.

Exercícios relacionados

Simplifique, usando quadrados notáveis, as seguintes expressões:
16 a^2 - 8 a b + b^2.
Prove que: Se (a_n)_{n ∈ N} é uma sequência monótona decrescente e não limitada, então a_n -> -infinito.
Prove que: Se a_n > 0, para todo n in N, e an -> 0, então 1/a_n -> +infinito.
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
5. y'' + k^2 x^2 y = 0, x0 = 0, k uma constante