Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
e
(a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano
, mostre que
e
formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
5.
uma constante
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
5.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
e precisamos resolver ela usando séries de potências ao redor de
. Isso significa que vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências, equações diferenciais e como encontrar relações de recorrência para os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
:
Passo 3
Substituímos
e
na equação diferencial:
Vamos ajustar os índices para que ambas as séries tenham a mesma potência de
. Para a primeira série, fazemos
:
Agora, mudamos o índice da segunda série para
:
Note que para
,
não está definido, então consideramos
para esses casos.
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero:
Essa é a relação de recorrência que os coeficientes
devem satisfazer. Ela nos permite expressar
em termos de
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os quatro primeiros termos das duas soluções
e
. Como a equação diferencial é de segunda ordem, esperamos duas soluções lineares independentes.
Começamos assumindo que
e
são os termos iniciais:
Solução 1 (
):
-
(escolhemos valor inicial) -
(para garantir a independência)
Usando a relação de recorrência:
Então, a primeira solução é:
Solução 2 (
):
-
-
(escolhemos valor inicial)
Usando a relação de recorrência:
Então, a segunda solução é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o wronskiano
para mostrar que
e
são soluções linearmente independentes (úteis).
O wronskiano é definido como:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Avaliado em
:
Então,
Como o wronskiano é diferente de zero, as soluções
e
são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções.
Passo 7
Por fim, vamos tentar encontrar o termo geral para cada solução. Observando os padrões dos coeficientes:
Para
:
Observamos que os coeficientes de
para
seguem:
Então, o termo geral é:
Para
:
Os coeficientes de
para
seguem:
Então, o termo geral é:
Resposta
As duas soluções da equação diferencial
centradas em
são:
Essas soluções formam um conjunto fundamental de soluções para a equação dada.
Exercícios relacionados
Prove que: Se $a_{n}>0$, para todo $n \in \mathbb{N}$, e $a_{n} \rightarrow 0$, então $\frac{1}{a_{n}} \rightarrow+\infty$.
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e
(a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano , mostre que
e
formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
6.
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
6.
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e
(a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano , mostre que
e
formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
2.
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
2.
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.