Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
5. y'' + k^2 x^2 y = 0, x0 = 0, k uma constante

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial e precisamos resolver ela usando séries de potências ao redor de . Isso significa que vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências, equações diferenciais e como encontrar relações de recorrência para os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Agora, precisamos encontrar as derivadas de :

Passo 3

Substituímos e na equação diferencial:
Vamos ajustar os índices para que ambas as séries tenham a mesma potência de . Para a primeira série, fazemos :
Agora, mudamos o índice da segunda série para :
Note que para , não está definido, então consideramos para esses casos.

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de a zero:
Essa é a relação de recorrência que os coeficientes devem satisfazer. Ela nos permite expressar em termos de :

Passo 5

Agora, vamos encontrar os quatro primeiros termos das duas soluções e . Como a equação diferencial é de segunda ordem, esperamos duas soluções lineares independentes.
Começamos assumindo que e são os termos iniciais:

Solução 1 ( ):

  • (escolhemos valor inicial)
  • (para garantir a independência)
Usando a relação de recorrência:
Então, a primeira solução é:

Solução 2 ( ):

  • (escolhemos valor inicial)
Usando a relação de recorrência:
Então, a segunda solução é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o wronskiano para mostrar que e são soluções linearmente independentes (úteis).
O wronskiano é definido como:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Avaliado em :
Então,
Como o wronskiano é diferente de zero, as soluções e são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 7

Por fim, vamos tentar encontrar o termo geral para cada solução. Observando os padrões dos coeficientes:

Para :

Observamos que os coeficientes de para seguem:
Então, o termo geral é:

Para :

Os coeficientes de para seguem:
Então, o termo geral é:

Resposta

As duas soluções da equação diferencial centradas em são:
Essas soluções formam um conjunto fundamental de soluções para a equação dada.

Exercícios relacionados

Prove que: Se $a_{n}>0$, para todo $n \in \mathbb{N}$, e $a_{n} \rightarrow 0$, então $\frac{1}{a_{n}} \rightarrow+\infty$.
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
6. (1 - x) y'' + y = 0, x0 = 0
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
2. y'' + 3y' = 0, x0 = 0
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumk=0^+infty k^33^k.