Prove que: Se
, para todo
, e
, então
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma sequência
onde cada termo
é positivo (
) para todo número natural
, e essa sequência converge para zero, ou seja,
. Precisamos provar que a sequência da inversa dos termos,
, converge para mais infinito, ou seja,
.
Para resolver esse problema, vamos precisar utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades de limites envolvendo infinitos. Também vamos usar a definição formal de limite de uma sequência.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que
significa que, para todo número real
, existe um número natural
tal que, para todo
, temos
. Como
, isso simplifica para
.
Passo 3
Queremos provar que
. Pela definição, isso significa que, para todo número real
, existe um número natural
tal que, para todo
, temos
.
Passo 4
Vamos partir da hipótese que
. Dado
, precisamos encontrar um
tal que
para todo
. Isso vem diretamente da definição de limite.
Passo 5
Como
, para
, existe um
tal que, para todo
,
. Tomando o inverso dos dois lados dessa inequação (e lembrando que
), obtemos
para todo
.
Resposta
Portanto, provamos que se
para todo
e
, então
.