Prove que: Se a_n > 0, para todo n in N, e an -> 0, então 1/a_n -> +infinito.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma sequência onde cada termo é positivo ( ) para todo número natural n, e essa sequência converge para zero, ou seja, . Precisamos provar que a sequência da inversa dos termos, , converge para mais infinito, ou seja, .
Para resolver esse problema, vamos precisar utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades de limites envolvendo infinitos. Também vamos usar a definição formal de limite de uma sequência.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que significa que, para todo número real , existe um número natural N tal que, para todo , temos . Como , isso simplifica para .

Passo 3

Queremos provar que . Pela definição, isso significa que, para todo número real , existe um número natural N tal que, para todo , temos .

Passo 4

Vamos partir da hipótese que . Dado , precisamos encontrar um N tal que para todo . Isso vem diretamente da definição de limite.

Passo 5

Como , para , existe um N tal que, para todo , . Tomando o inverso dos dois lados dessa inequação (e lembrando que ), obtemos para todo .

Resposta

Portanto, provamos que se para todo n e , então .

Exercícios relacionados

Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
6. (1 - x) y'' + y = 0, x0 = 0
Simplifique, usando quadrados notáveis, as seguintes expressões:
16 a^2 - 8 a b + b^2.
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
5. y'' + k^2 x^2 y = 0, x0 = 0, k uma constante
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
2. y'' + 3y' = 0, x0 = 0