Prove que: Se
, para todo
, e
, então
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma sequência
onde cada termo
é positivo (
) para todo número natural
, e essa sequência converge para zero, ou seja,
. Precisamos provar que a sequência da inversa dos termos,
, converge para mais infinito, ou seja,
.
Para resolver esse problema, vamos precisar utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades de limites envolvendo infinitos. Também vamos usar a definição formal de limite de uma sequência.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que
significa que, para todo número real
, existe um número natural
tal que, para todo
, temos
. Como
, isso simplifica para
.
Passo 3
Queremos provar que
. Pela definição, isso significa que, para todo número real
, existe um número natural
tal que, para todo
, temos
.
Passo 4
Vamos partir da hipótese que
. Dado
, precisamos encontrar um
tal que
para todo
. Isso vem diretamente da definição de limite.
Passo 5
Como
, para
, existe um
tal que, para todo
,
. Tomando o inverso dos dois lados dessa inequação (e lembrando que
), obtemos
para todo
.
Resposta
Portanto, provamos que se
para todo
e
, então
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e
(a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano , mostre que
e
formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
6.
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
6.
Simplifique, usando quadrados notáveis, as seguintes expressões:
.
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e
(a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano , mostre que
e
formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
5. uma constante
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
5.
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e
(a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano , mostre que
e
formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
2.
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
2.