Prove que: Se a_n > 0, para todo n in N, e an -> 0, então 1/a_n -> +infinito.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma sequência onde cada termo é positivo ( ) para todo número natural n, e essa sequência converge para zero, ou seja, . Precisamos provar que a sequência da inversa dos termos, , converge para mais infinito, ou seja, .
Para resolver esse problema, vamos precisar utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades de limites envolvendo infinitos. Também vamos usar a definição formal de limite de uma sequência.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que significa que, para todo número real , existe um número natural N tal que, para todo , temos . Como , isso simplifica para .

Passo 3

Queremos provar que . Pela definição, isso significa que, para todo número real , existe um número natural N tal que, para todo , temos .

Passo 4

Vamos partir da hipótese que . Dado , precisamos encontrar um N tal que para todo . Isso vem diretamente da definição de limite.

Passo 5

Como , para , existe um N tal que, para todo , . Tomando o inverso dos dois lados dessa inequação (e lembrando que ), obtemos para todo .

Resposta

Portanto, provamos que se para todo n e , então .

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