Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano , mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando séries de potências. A equação que temos é e queremos encontrar soluções em torno de . Para isso, vamos precisar expandir em uma série de potências, substituir na equação diferencial, e descobrir uma relação de recorrência para os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias:
Substituindo , e na equação diferencial :
Vamos ajustar os índices para que as somas tenham a mesma potência de :
Primeira soma: deixe , então :
Segunda soma: deixe , então :
Agora, podemos escrever a equação como:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Podemos simplificar dividindo por (desde que , o que é válido para ):
Essa é a relação de recorrência que os coeficientes devem satisfazer.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os quatro primeiros termos das duas soluções e .
Para isso, precisamos escolher valores para e , já que eles determinam as soluções.
Solução 1 ():
Vamos escolher e .
Aplicando a relação de recorrência:
Para :
Para :
Para :
Portanto, os primeiros termos de são:
Solução 2 ():
Vamos escolher e .
Aplicando a relação de recorrência:
Para :
Para :
Para :
Portanto, os primeiros termos de são:
Passo 4
Agora, vamos calcular o wronskiano . O wronskiano é dado por:
Sabemos que e . Vamos calcular as derivadas em :
Agora, avaliando em :
Substituindo no wronskiano:
Como o wronskiano em é diferente de zero (), isso mostra que e são soluções linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial.
Passo 5
Finalmente, vamos tentar encontrar o termo geral para cada solução.
Para :
Observamos que todos os coeficientes a partir de são zero. Portanto, a solução é simplesmente:
Para :
A relação de recorrência encontrada foi:
Vamos observar o padrão para encontrar o termo geral. Calculando alguns termos:
Parece que os coeficientes seguem um padrão envolvendo potências de . Portanto, podemos conjecturar que:
Assim, o termo geral para seria:
No entanto, para simplificar, vamos reconhecer que a equação diferencial tem solução geral da forma:
Portanto, podemos identificar e como as duas soluções fundamentais, onde pode ser expandido em série de potências como fizemos anteriormente.
Resposta
As soluções encontradas são:
E o wronskiano , confirmando que e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada.