Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série
converge ou diverge. Isso entra na matéria de séries infinitas, especificamente usando testes de convergência. Vamos precisar usar o Teste da Razão para analisar essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se, ao somarmos seus termos infinitamente, o resultado se aproxima de um número finito. Caso contrário, ela diverge, ou seja, não tem um limite finito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos que envolvem fatoriais ou potências. Esse teste diz que se o limite
for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá resposta.
Passo 4
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
Agora, vamos calcular o limite quando
k tende ao infinito:
Porque os termos de menor ordem se tornam insignificantes quando
k cresce muito.
Passo 5
Como o limite
L = 13 é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série
sumk=0^+infty k^33^k converge.
Resposta
A série
sumk=0^+infty k^33^k converge.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dadox_0 ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluçõesy1 e
y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskianoW[y1, y2](x0) , mostre que
y1 e
y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
2.y'' + 3y' = 0, x0 = 0
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
2.
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dadox_0 ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluçõesy1 e
y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskianoW[y1, y2](x0) , mostre que
y1 e
y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
5.y'' + k^2 x^2 y = 0, x0 = 0, k uma constante
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
5.
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dadox_0 ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluçõesy1 e
y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskianoW[y1, y2](x0) , mostre que
y1 e
y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
4.y'' - x y' - y = 0, x0 = 1
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
c. Calculando o wronskiano
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
4.
Encontre a área do triângulo no caso em que:
O triângulo for isósceles, o lado diferente medir 20 e o ângulo oposto68 graus .
O triângulo for isósceles, o lado diferente medir 20 e o ângulo oposto