Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumk=0^+infty k^33^k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série sumk=0^+infty k^33^k converge ou diverge. Isso entra na matéria de séries infinitas, especificamente usando testes de convergência. Vamos precisar usar o Teste da Razão para analisar essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se, ao somarmos seus termos infinitamente, o resultado se aproxima de um número finito. Caso contrário, ela diverge, ou seja, não tem um limite finito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos que envolvem fatoriais ou potências. Esse teste diz que se o limite limk to infty | ak+1ak | = L for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá resposta.

Passo 4

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
ak+1ak = (k+1)^33^k+1k^33^k = (k+1)^33k^3 = (k+1)^33k^3
Agora, vamos calcular o limite quando k tende ao infinito:
limk to infty (k+1)^33k^3 = limk to infty k^3 + 3k^2 + 3k + 13k^3 = 13
Porque os termos de menor ordem se tornam insignificantes quando k cresce muito.

Passo 5

Como o limite L = 13 é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série sumk=0^+infty k^33^k converge.

Resposta

A série sumk=0^+infty k^33^k converge.

Exercícios relacionados

Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
2. y'' + 3y' = 0, x0 = 0
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
5. y'' + k^2 x^2 y = 0, x0 = 0, k uma constante
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
4. y'' - x y' - y = 0, x0 = 1
Encontre a área do triângulo no caso em que:
O triângulo for isósceles, o lado diferente medir 20 e o ângulo oposto 68 graus.