Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
4. y'' - x y' - y = 0, x0 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o Problema 4 juntos! A gente precisa encontrar soluções em séries de potências para a equação diferencial em torno do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e métodos de recorrência para determinar os coeficientes das soluções. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Agora, calculamos as derivadas primeira e segunda dessa série:

Passo 3

Substituímos , e na equação diferencial:
Para simplificar, fazemos uma mudança de índice para alinharmos os termos:

Passo 4

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
Resolvendo para :
Essa é a nossa relação de recorrência!

Passo 5

Vamos encontrar os quatro primeiros termos para cada solução e . Começamos assumindo valores iniciais para e .
Solução :
  • (escolhemos como 1)
  • (para obter uma solução específica)
Calculando os próximos coeficientes:
Então, os quatro primeiros termos de são:
Solução :
  • (escolhemos como 1)
Calculando os próximos coeficientes:
Então, os quatro primeiros termos de são:

Passo 6

Agora, vamos calcular o wronskiano no ponto . O wronskiano é dado por:
Calculando as derivadas em :
Então:
Como o wronskiano não é zero, e são soluções linearmente independentes, formando um conjunto fundamental de soluções.

Passo 7

Por fim, vamos tentar encontrar o termo geral para cada solução.
Para :
Observando os coeficientes , percebemos que a sequência segue um padrão que pode ser relacionada a funções exponenciais ou polinomiais específicas, mas devido à complexidade dos termos, o termo geral não é facilmente expressável de forma simples.
Para :
De forma semelhante, os coeficientes não seguem um padrão que permita uma expressão fechada fácil para o termo geral.
Portanto, concluímos que, para este caso, não é possível encontrar uma expressão geral simples para os termos das soluções e .

Resposta

Resumindo, encontramos as primeiras quatro termos das duas soluções em séries de potências para a equação diferencial dada, verificamos que elas são linearmente independentes através do wronskiano, formando assim um conjunto fundamental de soluções. Não foi possível determinar uma expressão geral para os termos das soluções.

Exercícios relacionados

Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumk=0^+infty k^33^k.
Em cada um dos Problemas 1 a 11:
a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
2. y'' + 3y' = 0, x0 = 0
Encontre a área do triângulo no caso em que:
O triângulo for isósceles, o lado diferente medir 20 e o ângulo oposto 68 graus.
Encontre as demais funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) para o ângulo theta nos seguintes casos:
tan(theta) = 3/2