Em cada um dos Problemas de 12 a 19, determinar uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas. Esboçar 0 gráfico.
14. focos F( pm 3,0) e vértices A( pm 4,0);

Passo 1

Vamos resolver um problema onde precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem seus focos em (pm3, 0) e seus vértices em (pm4, 0). Para isso, vamos usar os conceitos básicos de elipses, como os parâmetros principais e as relações entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o comprimento do eixo maior da elipse. Os vértices estão em (pm4, 0), o que significa que a distância do centro (que é a origem, (0,0)) a cada vértice é a = 4. Portanto, o comprimento total do eixo maior é 2a = 8.

Passo 3

Agora, vamos identificar a distância dos focos ao centro da elipse. Os focos estão em (pm3, 0), então a distância c = 3.

Passo 4

Sabemos que em uma elipse, existe a relação c^2 = a^2 - b^2, onde b é a distância do centro até o ponto mais alto ou mais baixo da elipse (no eixo menor). Vamos usar essa relação para encontrar b.

Passo 5

Substituindo os valores de a e c na fórmula:
3^2 = 4^2 - b^2 9 = 16 - b^2 b^2 = 16 - 9 b^2 = 7

Passo 6

Com os valores de a^2 = 16 e b^2 = 7, podemos escrever a equação padrão da elipse centrada na origem:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Substituindo os valores:
x^216 + y^27 = 1

Resposta

A equação da elipse é dfracx^216 + dfracy^27 = 1.

Exercícios relacionados