Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores quaisquer em \mathbb{R}^{3} e |\vec{u}|=1.
Calcule:
(a) |\vec{u}+\vec{v}|^{2} = |\vec{u}|^{2} + |\vec{v}|^{2}+2\langle\vec{u};\vec{v}\rangle$.
Calcule:
(a) |\vec{u}+\vec{v}|^{2} = |\vec{u}|^{2} + |\vec{v}|^{2}+2\langle\vec{u};\vec{v}\rangle$.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
, que estão no espaço tridimensional
. Sabemos que a norma de
, ou seja, o comprimento dele, é igual a 1 (
). O que a gente precisa fazer é calcular o quadrado da norma da soma desses dois vetores,
. Para isso, vamos usar algumas propriedades de vetores e produto interno que estudamos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona a norma da soma de dois vetores com o produto interno entre eles. A fórmula é:
Aqui,
é a norma do vetor
,
é a norma do vetor
, e
é o produto interno entre
e
.
Passo 3
Vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula. Sabemos que
. Então, a equação fica:
Simplificando:
Passo 4
Agora, se quisermos encontrar um valor numérico para
, precisaríamos saber o que é
e o valor do produto interno
. Mas, como o enunciado não fornece esses valores, a gente deixa a expressão assim mesmo, representando em termos de
e
.
Resposta
Portanto, o quadrado da norma da soma dos vetores
e
é dado por: