Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores quaisquer em \mathbb{R}^{3} e |\vec{u}|=1.
Calcule:
(a) |\vec{u}+\vec{v}|^{2} = |\vec{u}|^{2} + |\vec{v}|^{2}+2\langle\vec{u};\vec{v}\rangle$.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , que estão no espaço tridimensional . Sabemos que a norma de , ou seja, o comprimento dele, é igual a 1 ( ). O que a gente precisa fazer é calcular o quadrado da norma da soma desses dois vetores, . Para isso, vamos usar algumas propriedades de vetores e produto interno que estudamos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona a norma da soma de dois vetores com o produto interno entre eles. A fórmula é:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2lang<= u, v rang<=
Aqui, é a norma do vetor , é a norma do vetor , e é o produto interno entre e .

Passo 3

Vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula. Sabemos que |u + v|^2 = (1)^2 + |v|^2 + 2lang<= u, v rang<= . Então, a equação fica:
|u + v|^2 = 1 + |v|^2 + 2lang<= u, v rang<=
Simplificando:

Passo 4

Agora, se quisermos encontrar um valor numérico para , precisaríamos saber o que é e o valor do produto interno . Mas, como o enunciado não fornece esses valores, a gente deixa a expressão assim mesmo, representando em termos de e .

Resposta

Portanto, o quadrado da norma da soma dos vetores |u + v|^2 = 1 + |v|^2 + 2lang<= u, v rang<= e é dado por:

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