Sejam A=(1,2,1), B=(2,3,4) e C=(3,0,2).
Calcule:
(b) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.

Passo 1

Beleza, a gente tem três pontos no espaço: A=(1,2,1), B=(2,3,4) e C=(3,0,2). O que precisamos fazer aqui é calcular o produto escalar dos vetores e . Para isso, vamos precisar:
  • Vetores AB e AC: Para encontrar esses vetores, a gente subtrai as coordenadas dos pontos.
  • Produto Escalar: Lembra que o produto escalar entre dois vetores é a soma dos produtos das suas componentes correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor AB = B - A = (2-1, , 3-2, , 4-1) = (1, , 1, , 3) . Isso significa que a gente vai subtrair as coordenadas de A das coordenas de B.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor AC = C - A = (3-1, , 0-2, , 2-1) = (2, , -2, , 1) fazendo a mesma coisa: subtrair as coordenadas de A das coordenadas de C.

Passo 4

Com os dois vetores em mãos, vamos calcular o produto escalar entre AB cdot AC = (x1 cdot x2) + (y1 cdot y2) + (z1 cdot z2) e (1 cdot 2) + (1 cdot -2) + (3 cdot 1) = 2 - 2 + 3 = 3 . A fórmula do produto escalar é:
Aplicando as componentes dos vetores que encontramos:

Resposta

O produto escalar é igual a 3.

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