Considere os pontos A=(1,2,-1), B=(2,0,1), C=(-1,1,0) e D=(0,2,0).
(b) Determine o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no espaço: A=(1,2,-1), B=(2,0,1), C=(-1,1,0) e D=(0,2,0). O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume do tetraedro formado por esses quatro pontos. Para isso, vamos usar a fórmula do volume de um tetraedro a partir das coordenadas dos vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um ponto de referência. Vamos usar o ponto A como base. Agora, precisamos encontrar os vetores que ligam o ponto A aos outros três pontos: B, C e D. Esses vetores serão usados para montar uma matriz que vamos trabalhar depois.

Passo 3

Vamos calcular os vetores AB, AC e AD:
  • Vetor AB = B - A = (2-1, 0-2, 1-(-1)) = (1, -2, 2)
  • Vetor AC = C - A = (-1-1, 1-2, 0-(-1)) = (-2, -1, 1)
  • Vetor AD = D - A = (0-1, 2-2, 0-(-1)) = (-1, 0, 1)

Passo 4

Agora, vamos montar uma matriz com esses três vetores e calcular o determinante dela. A fórmula para o volume do tetraedro é:
V = 16 | det 1 & -2 & 2 -2 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 |
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
det = 1 cdot ( (-1)(1) - (1)(0) ) - (-2) cdot ( (-2)(1) - (1)(-1) ) + 2 cdot ( (-2)(0) - (-1)(-1) )
Simplificando:
det = 1 cdot (-1 - 0) - (-2) cdot (-2 + 1) + 2 cdot (0 - 1)
det = -1 - (-2)(-1) + 2(-1)
det = -1 - 2 - 2 = -5

Passo 5

Agora que temos o determinante, vamos usar a fórmula do volume:
V = 16 times | -5 | = 16 times 5 = 56

Resposta

O volume do tetraedro é unidades cúbicas.

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