Considere os pontos A=(1,2,-1), B=(2,0,1), C=(-1,1,0) e D=(0,2,0).
(b) Determine o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no espaço: A=(1,2,-1), B=(2,0,1), C=(-1,1,0) e D=(0,2,0). O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume do tetraedro formado por esses quatro pontos. Para isso, vamos usar a fórmula do volume de um tetraedro a partir das coordenadas dos vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um ponto de referência. Vamos usar o ponto A como base. Agora, precisamos encontrar os vetores que ligam o ponto A aos outros três pontos: B, C e D. Esses vetores serão usados para montar uma matriz que vamos trabalhar depois.
Passo 3
Vamos calcular os vetores AB, AC e AD:
Vetor AB = B - A = (2-1, 0-2, 1-(-1)) = (1, -2, 2)
Vetor AC = C - A = (-1-1, 1-2, 0-(-1)) = (-2, -1, 1)
Vetor AD = D - A = (0-1, 2-2, 0-(-1)) = (-1, 0, 1)
Passo 4
Agora, vamos montar uma matriz com esses três vetores e calcular o determinante dela. A fórmula para o volume do tetraedro é: