Em cada um dos Problemas de 12 a 19, determinar uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas. Esboçar 0 gráfico.
15. focos F(0, pm 3) e excentricidade raiz32;

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a equação de uma elipse que tem os focos em F(0, pm 3) e uma excentricidade de raiz32. Vamos precisar usar os conceitos de elipse, especialmente a relação entre os parâmetros a, b, c e a excentricidade e.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma elipse, os focos estão localizados a uma distância c do centro. Aqui, os focos são (0, 3) e (0, -3), então o centro da elipse é (0, 0) e c = 3.

Passo 3

A excentricidade e da elipse é dada por e = ca, onde a é o semi-eixo maior. Sabemos que e = raiz32 e c = 3. Vamos encontrar a:
a = ce = 3raiz32 = 6raiz3 = 2raiz3

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o semi-eixo menor b. Sabemos que em uma elipse, a relação entre a, b e c é c^2 = a^2 - b^2. Vamos resolver para b^2:
b^2 = a^2 - c^2 = (2raiz3)^2 - 3^2 = 12 - 9 = 3

Passo 5

Com os valores de a e b, podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos estão no eixo y, a equação é:
x^2b^2 + y^2a^2 = 1
Substituindo a^2 = 12 e b^2 = 3, temos:
x^23 + y^212 = 1

Resposta

A equação da elipse é dfracx^23 + dfracy^212 = 1.

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