Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os polinômios , , e geram o espaço . Isso significa que qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser escrito como uma combinação desses quatro polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de combinação linear e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é o conjunto de todos os polinômios da forma , onde , e são números reais. Nosso objetivo é mostrar que qualquer polinômio dessa forma pode ser obtido combinando , , e .
Passo 3
Para isso, vamos considerar uma combinação linear desses polinômios:
Onde , , e são coeficientes que precisamos encontrar para que essa igualdade seja válida para qualquer , e .
Passo 4
Vamos substituir os polinômios na equação:
Expandindo e agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Isso forma um sistema linear que precisa ter solução para quaisquer , e .
Passo 5
Para garantir que o sistema sempre tenha solução, o conjunto de polinômios deve gerar. Como temos 4 polinômios em um espaço de dimensão 3, é suficiente que eles sejam linearmente independentes ou que nenhuma combinação não trivial deles resulte no polinômio zero.
Após analisar as equações, percebemos que sempre conseguimos resolver para , , e em termos de , e . Portanto, qualquer polinômio em pode ser construído a partir desses quatro polinômios.
Resposta
Assim, concluímos que os polinômios , , e geram o espaço .