Mostre que os polinómios
p1(t)=1+2 t-t^2, p2(t)=3+t^2, p3(t)=5+4 t-t^2, p4(t)=-2+2 t-t^2
>=ram P2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os polinômios , , e geram o espaço . Isso significa que qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser escrito como uma combinação desses quatro polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de combinação linear e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o conjunto de todos os polinômios da forma , onde , e são números reais. Nosso objetivo é mostrar que qualquer polinômio dessa forma pode ser obtido combinando , , e .

Passo 3

Para isso, vamos considerar uma combinação linear desses polinômios:
A cdot p1(t) + B cdot p2(t) + C cdot p3(t) + D cdot p4(t) = a + bt + ct^2
Onde , , e são coeficientes que precisamos encontrar para que essa igualdade seja válida para qualquer , e .

Passo 4

Vamos substituir os polinômios na equação:
A(1 + 2t - t^2) + B(3 + t^2) + C(5 + 4t - t^2) + D(-2 + 2t - t^2) = a + bt + ct^2
Expandindo e agrupando os termos semelhantes:
(A + 3B + 5C - 2D) + (2A + 4C + 2D)t + (-A + B - C - D)t^2 = a + bt + ct^2
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + 3B + 5C - 2D = a 2A + 4C + 2D = b -A + B - C - D = c
Isso forma um sistema linear que precisa ter solução para quaisquer , e .

Passo 5

Para garantir que o sistema sempre tenha solução, o conjunto de polinômios deve gerar . Como temos 4 polinômios em um espaço de dimensão 3, é suficiente que eles sejam linearmente independentes ou que nenhuma combinação não trivial deles resulte no polinômio zero.
Após analisar as equações, percebemos que sempre conseguimos resolver para , , e em termos de , e . Portanto, qualquer polinômio em pode ser construído a partir desses quatro polinômios.

Resposta

Assim, concluímos que os polinômios , , e geram o espaço .

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