Sejam A=(1,3,-1), B=(1,0,-1) e C=(2,0,-1).
(a) Os vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C} são ortogonais?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: A=(1,3,-1), B=(1,0,-1) e C=(2,0,-1). A pergunta é: os vetores e são ortogonais? Para responder isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, subtração de vetores e o produto escalar (também conhecido como produto ponto). Esses conceitos vão nos ajudar a verificar se os vetores são perpendiculares entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores AB = B - A = (1-1, 0-3, -1-(-1)) = (0, -3, 0) e AC = C - A = (2-1, 0-3, -1-(-1)) = (1, -3, 0) . A maneira de fazer isso é subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B e C, respectivamente.
Para :
Para :
Passo 3
Agora que temos os vetores u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e AB cdot AC = (0)(1) + (-3)(-3) + (0)(0) = 0 + 9 + 0 = 9 , vamos calcular o produto escalar deles. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Então, aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 4
A propriedade de ortogonalidade diz que dois vetores são ortogonais (ou perpendiculares) se e somente se o produto escalar deles for igual a zero. No nosso caso, o produto escalar , que não é zero.