Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12,
é uma função continua arbitrária.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau que parece assim:
Aqui, o que a gente precisa é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares de segunda ordem e usar métodos como o da equação característica e o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o lado direito. Isso fica assim:
Passo 3
Para resolver essa equação homogênea, a gente usa a equação característica, que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica. Substituímos
por
e obtemos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais. Então:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é
, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados e supor uma solução da forma:
Aqui,
,
,
, e
são constantes que a gente precisa encontrar.
Passo 7
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Passo 8
Substituímos
,
, e
na equação original:
Depois de substituir e reorganizar os termos, igualamos os coeficientes dos termos similares para resolver
,
,
, e
.
Passo 9
Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores de
,
,
, e
. Isso nos dá a solução particular
.
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias, e
,
,
,
são coeficientes determinados pela substituição na equação original.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais das funções dadas:
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: