Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12, g é uma função continua arbitrária.
y'' + 4y' + 4y = r^3 e^3, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau que parece assim:
Aqui, o que a gente precisa é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares de segunda ordem e usar métodos como o da equação característica e o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o lado direito. Isso fica assim:

Passo 3

Para resolver essa equação homogênea, a gente usa a equação característica, que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica. Substituímos por e obtemos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais. Então:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, e são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é , vamos usar o método dos coeficientes indeterminados e supor uma solução da forma:
Aqui, , , , e são constantes que a gente precisa encontrar.

Passo 7

Vamos derivar para encontrar e :

Passo 8

Substituímos , , e na equação original:
Depois de substituir e reorganizar os termos, igualamos os coeficientes dos termos similares para resolver , , , e .

Passo 9

Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores de , , , e . Isso nos dá a solução particular .

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias, e , , , são coeficientes determinados pela substituição na equação original.

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas parciais das funções dadas: f(x, y, z) = x^2 * ln(x^2 + y^2 + z^2)
integral 46 x^34 x^2-4 x+1 d x
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(x, y, z) = e^(x * y^2) + ln(y + z)
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(x, y) = (x + y) / raiz(y^2 - x^2)