Calcule as derivadas parciais das funções dadas: f(x, y, z) = x^2 * ln(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função . Isso faz parte de cálculo multivariável, onde trabalhamos com funções de várias variáveis e suas derivadas. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Vem comigo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . A função é um produto de e . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
A derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Aqui, usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar composições de funções. A derivada de em relação a é , e multiplicamos pela derivada de em relação a , onde .

Passo 5

Substituindo de volta na equação da derivada parcial:
Podemos simplificar um pouco:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , . Observe que não depende de , então só precisamos derivar a parte em relação a , multiplicando pelo .
Usando novamente a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a derivada parcial em relação a , . A lógica é a mesma do :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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