Calcule as derivadas parciais das funções dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função
. Isso faz parte de cálculo multivariável, onde trabalhamos com funções de várias variáveis e suas derivadas. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Vem comigo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. A função
é um produto de
e
. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
A derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Aqui, usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar composições de funções. A derivada de
em relação a
é
, e multiplicamos pela derivada de
em relação a
, onde
.
Passo 5
Substituindo de volta na equação da derivada parcial:
Podemos simplificar um pouco:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
,
. Observe que
não depende de
, então só precisamos derivar a parte
em relação a
, multiplicando pelo
.
Usando novamente a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a derivada parcial em relação a
,
. A lógica é a mesma do
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: