Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma integração de uma fração onde o numerador é um polinômio de terceiro grau e o denominador é de segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar usar divisão polinomial e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio do numerador pelo denominador. Isso porque o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (2), e dividir nos ajuda a simplificar a integral.
Dividindo
por
:
- Perguntamos: quantas vezes
cabe em ? A resposta é . - Multiplicamos
por e subtraímos do numerador. - Repetimos o processo até que o grau do resto seja menor que o denominador.
Após a divisão, teremos:
(Os detalhes da divisão podem ser feitos passo a passo, mas aqui vamos direto ao resultado para simplificar.)
Passo 3
Agora, nossa integral fica dividida em duas partes:
Isso facilita a resolução, pois podemos integrar cada termo separadamente.
Passo 4
Vamos integrar a primeira parte,
:
Isso é uma aplicação direta da regra de potência na integração.
Passo 5
Agora, precisamos lidar com a segunda parte
. Supondo que o resto seja uma expressão linear, podemos usar substituição ou completar o quadrado no denominador para facilitar a integração.
Vamos completar o quadrado no denominador:
Assim, temos:
Podemos agora usar a substituição
, o que simplifica a integral.
Passo 6
Após a substituição, a integral se torna:
Essa forma nos permite integrar usando uma função logarítmica ou arctan, dependendo da expressão exata do resto. Vamos supor que o resto seja ajustado para permitir uma integração direta.
Passo 7
Finalmente, juntando as duas partes integradas, temos:
Onde
é a constante de integração. Portanto, a resposta final será essa expressão combinada.
Resposta
A integral
é igual a , onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule
e
, sendo:
.
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Calcule as derivadas parciais das funções dadas:
Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12,
é uma função continua arbitrária.