Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(x, y, z) = e^(x * y^2) + ln(y + z)

Passo 1

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Vamos precisar usar regras de diferenciação como a derivada de funções exponenciais, logarítmicas e a regra do produto. Também vamos aplicar as regras para derivadas parciais de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a , e .
Para :
A única parte da função que depende de é . A derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a . Aqui, , então .
Para :
Temos duas partes que dependem de : e .
  • Para , a derivada em relação a é .
  • Para , a derivada em relação a é .
Então,
Para :
A única parte que depende de é . A derivada em relação a é .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem, incluindo as cruzadas , , e .
Para :
Derivamos novamente em relação a .
Para :
Derivamos em relação a .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então,
Para :
Derivamos novamente em relação a .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas cruzadas.
Para :
Derivamos em relação a .
Para :
Derivamos em relação a . Como não há nessa expressão, a derivada é zero.
Para :
Derivamos em relação a .

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem são:

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Calcule as derivadas parciais das funções dadas: f(x, y, z) = x^2 * ln(x^2 + y^2 + z^2)
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