Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Passo 1
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Vamos precisar usar regras de diferenciação como a derivada de funções exponenciais, logarítmicas e a regra do produto. Também vamos aplicar as regras para derivadas parciais de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
,
e
.
Para
:
A única parte da função que depende de é
. A derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
. Aqui,
, então
.
A única parte da função que depende de
Para
:
Temos duas partes que dependem de :
e
.
Temos duas partes que dependem de
- Para
, a derivada em relação a é . - Para
, a derivada em relação a é .
Então,
Para
:
A única parte que depende de é
. A derivada em relação a
é
.
A única parte que depende de
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem, incluindo as cruzadas
,
, e
.
Para
:
Derivamos novamente em relação a
.
Derivamos
Para
:
Derivamos em relação a
.
Derivamos
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então,
Para
:
Derivamos novamente em relação a
.
Derivamos
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas cruzadas.
Para
:
Derivamos em relação a
.
Derivamos
Para
:
Derivamos em relação a
. Como não há
nessa expressão, a derivada é zero.
Derivamos
Para
:
Derivamos em relação a
.
Derivamos
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem são:
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Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12,
é uma função continua arbitrária.
Calcule as derivadas parciais das funções dadas:
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: