Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(x, y) = (x + y) / raiz(y^2 - x^2)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (incluindo as cruzadas) da função . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e regras de derivação para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e .

Passo 3

Para calcular , tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
A função é . Podemos reescrever como .
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Aqui, tratamos como constante e diferenciamos em relação a .
Usando a mesma forma reescrita da função:
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 5

Agora, vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, calcularemos , depois , e por último as derivadas cruzadas e .

Passo 6

Calculando :
Tomando a derivada de em relação a :
Diferenciando termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Usamos a regra do produto:
Simplificando:
Assim, a segunda derivada em é:

Passo 7

Calculando :
Tomando a derivada de em relação a :
Diferenciando termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Usamos a regra do produto:
Simplificando:
Assim, a segunda derivada em é:

Passo 8

Finalmente, calculamos as derivadas cruzadas e . De acordo com a teoria, se as derivadas parciais forem contínuas, elas são iguais, ou seja, .
Tomando a derivada de em relação a :
Diferenciando termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Portanto, a derivada cruzada é:

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função são:

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Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12, g é uma função continua arbitrária.
y'' - 5y + 6y = g(t)