Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (incluindo as cruzadas) da função
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e regras de derivação para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
.
Passo 3
Para calcular
, tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
.
A função é
. Podemos reescrever como
.
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Aqui, tratamos
como constante e diferenciamos em relação a
.
Usando a mesma forma reescrita da função:
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Agora, vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, calcularemos
, depois
, e por último as derivadas cruzadas
e
.
Passo 6
Calculando
:
Tomando a derivada de
em relação a
:
Diferenciando termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Usamos a regra do produto:
Simplificando:
Assim, a segunda derivada em
é:
Passo 7
Calculando
:
Tomando a derivada de
em relação a
:
Diferenciando termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Usamos a regra do produto:
Simplificando:
Assim, a segunda derivada em
é:
Passo 8
Finalmente, calculamos as derivadas cruzadas
e
. De acordo com a teoria, se as derivadas parciais forem contínuas, elas são iguais, ou seja,
.
Tomando a derivada de
em relação a
:
Diferenciando termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Portanto, a derivada cruzada é:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
são:
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Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12,
é uma função continua arbitrária.
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