Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12, g é uma função continua arbitrária.
y'' - 5y + 6y = g(t)

Passo 1

Vamos entender o que precisamos fazer aqui: Temos a equação diferencial e nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida removendo o termo :
Simplificando, temos:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada. Vamos derivar essa função:
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando (que nunca é zero):
Portanto, a equação característica é:
Resolvendo para :
Isso significa que as raízes são complexas e imaginárias. A partir disso, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . A forma dessa solução depende da função . Como é uma função contínua arbitrária, não sabemos exatamente qual é sua forma, então a solução particular também será geral.
Uma abordagem comum para encontrar a solução particular é usar o método de variação dos parâmetros. Esse método nos permite construir em termos de e das soluções da equação homogênea.

Passo 4

A solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução geral da equação homogênea e da solução particular:
Substituindo a solução homogênea que encontramos:
Como depende de e sua forma específica, nossa solução geral permanece nessa forma até que conheçamos mais detalhes sobre .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias, e é uma solução particular que depende da forma específica da função .

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