Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12,
é uma função continua arbitrária.
Passo 1
Vamos entender o que precisamos fazer aqui: Temos a equação diferencial
e nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida removendo o termo
:
Simplificando, temos:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Vamos derivar essa função:
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando
(que nunca é zero):
Portanto, a equação característica é:
Resolvendo para
:
Isso significa que as raízes são complexas e imaginárias. A partir disso, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa
. A forma dessa solução depende da função
. Como
é uma função contínua arbitrária, não sabemos exatamente qual é sua forma, então a solução particular também será geral.
Uma abordagem comum para encontrar a solução particular é usar o método de variação dos parâmetros. Esse método nos permite construir
em termos de
e das soluções da equação homogênea.
Passo 4
A solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução geral da equação homogênea e da solução particular:
Substituindo a solução homogênea que encontramos:
Como
depende de
e sua forma específica, nossa solução geral permanece nessa forma até que conheçamos mais detalhes sobre
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias, e
é uma solução particular que depende da forma específica da função
.
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Mostre que a função
satisfaz a equação de Laplace
.
Calcule
, sendo:
.