Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(x, y, z) = x * y * z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, incluindo as cruzadas, da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente em Derivadas Parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar em relação a cada variável mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Isso significa derivar a função em relação a cada uma das variáveis , e , uma de cada vez, mantendo as outras variáveis constantes.

Passo 3

Vamos começar com a derivada parcial em relação a . Mantemos e constantes:
Aqui, tratamos e como constantes e derivamos , que tem derivada 1.

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a :
Analogamente, e são constantes, e a derivada de é 1.

Passo 5

Por último, a derivada parcial em relação a :
Aqui, e são constantes, e a derivada de é 1.

Passo 6

Agora, vamos para as derivadas de segunda ordem, incluindo as cruzadas. Isso significa que vamos derivar novamente as derivadas parciais que encontramos, mas agora em relação a uma segunda variável.

Passo 7

Começamos com a derivada segunda em relação a :
Como e são constantes, a derivada de uma constante é zero.

Passo 8

Agora, a derivada cruzada em relação a e :
Aqui, derivamos em relação a , mantendo constante.

Passo 9

A derivada cruzada em relação a e :
Derivamos em relação a , mantendo constante.

Passo 10

Agora, a derivada segunda em relação a :
Como e são constantes, a derivada é zero.

Passo 11

A derivada cruzada em relação a e :
Derivamos em relação a , mantendo constante.

Passo 12

Por fim, a derivada segunda em relação a :
Como e são constantes, a derivada é zero.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
E as derivadas parciais de segunda ordem são:

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