Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, incluindo as cruzadas, da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente em Derivadas Parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar em relação a cada variável mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Isso significa derivar a função
em relação a cada uma das variáveis
,
e
, uma de cada vez, mantendo as outras variáveis constantes.
Passo 3
Vamos começar com a derivada parcial em relação a
. Mantemos
e
constantes:
Aqui, tratamos
e
como constantes e derivamos
, que tem derivada 1.
Passo 4
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Analogamente,
e
são constantes, e a derivada de
é 1.
Passo 5
Por último, a derivada parcial em relação a
:
Aqui,
e
são constantes, e a derivada de
é 1.
Passo 6
Agora, vamos para as derivadas de segunda ordem, incluindo as cruzadas. Isso significa que vamos derivar novamente as derivadas parciais que encontramos, mas agora em relação a uma segunda variável.
Passo 7
Começamos com a derivada segunda em relação a
:
Como
e
são constantes, a derivada de uma constante é zero.
Passo 8
Agora, a derivada cruzada em relação a
e
:
Aqui, derivamos
em relação a
, mantendo
constante.
Passo 9
A derivada cruzada em relação a
e
:
Derivamos
em relação a
, mantendo
constante.
Passo 10
Agora, a derivada segunda em relação a
:
Como
e
são constantes, a derivada é zero.
Passo 11
A derivada cruzada em relação a
e
:
Derivamos
em relação a
, mantendo
constante.
Passo 12
Por fim, a derivada segunda em relação a
:
Como
e
são constantes, a derivada é zero.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
E as derivadas parciais de segunda ordem são:
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satisfaz a equação de Laplace
.