Calcule d/dt [z(r(t), s(t))], sendo: z = r^2 - s tg(r), r = sen^2(t), s = cos(t).

Passo 1

Vamos ver o que temos aqui. Precisamos calcular a derivada de em relação a , onde , com e . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando uma função depende de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se depende de e , que por sua vez dependem de , então a derivada de em relação a é:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Aqui, usamos a derivada de , que é .

Passo 4

Agora, vamos derivar e em relação a :
Para , usamos a regra da cadeia na fun��ão , e para , a derivada de é .

Passo 5

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Por último, vamos substituir e na expressão acima:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Mostre que a função u(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2) satisfaz a equação de Laplace u_xx + u_yy + u_zz = 0.
Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12, g é uma função continua arbitrária.
y'' - 5y + 6y = g(t)
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(x, y) = e^(x^2 - y^2)
Encontrar a derivada direcional de ln(x^2 + y^2 + z^2) no ponto (1, 2, -1) :
a) no sentido deste ponto para a origem;
b) no sentido de um vetor v tal que v · (1,2,-1) = 0.