Calcule d/dt [z(r(t), s(t))], sendo: z = r^2 - s tg(r), r = sen^2(t), s = cos(t).

Passo 1

Vamos ver o que temos aqui. Precisamos calcular a derivada de em relação a , onde , com e . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando uma função depende de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se depende de e , que por sua vez dependem de , então a derivada de em relação a é:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Aqui, usamos a derivada de , que é .

Passo 4

Agora, vamos derivar e em relação a :
Para , usamos a regra da cadeia na fun��ão , e para , a derivada de é .

Passo 5

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Por último, vamos substituir e na expressão acima:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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