Calcule
, sendo:
.
Passo 1
Vamos ver o que temos aqui. Precisamos calcular a derivada de
em relação a
, onde
, com
e
. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando uma função depende de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se
depende de
e
, que por sua vez dependem de
, então a derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Aqui, usamos a derivada de
, que é
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Para
, usamos a regra da cadeia na fun��ão
, e para
, a derivada de
é
.
Passo 5
Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Passo 6
Por último, vamos substituir
e
na expressão acima:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Mostre que a função
satisfaz a equação de Laplace
.
Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12,
é uma função continua arbitrária.
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Encontrar a derivada direcional de
no ponto
:
a) no sentido deste ponto para a origem;
b) no sentido de um vetor tal que
.
a) no sentido deste ponto para a origem;
b) no sentido de um vetor