Mostre que a função u(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2) satisfaz a equação de Laplace u_xx + u_yy + u_zz = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função satisfaz a equação de Laplace, que é . Basicamente, vamos verificar se, ao calcular as segundas derivadas parciais de em relação a , e e somá-las, o resultado é zero. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar a equação de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . A função pode ser reescrita como . Usando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Diferenciando em relação a :
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

De maneira semelhante, ao calcular as segundas derivadas parciais em relação a e , obtemos:

Passo 5

Agora, vamos somar , e :

Passo 6

Simplificando a expressão:

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, a função satisfaz a equação de Laplace.

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Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12, g é uma função continua arbitrária.
y'' - 5y + 6y = g(t)
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(x, y, z) = x * y * z
Calcule d/dt [z(r(t), s(t))], sendo: z = r^2 - s tg(r), r = sen^2(t), s = cos(t).
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(x, y) = e^(x^2 - y^2)