Mostre que a função
satisfaz a equação de Laplace
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace, que é
. Basicamente, vamos verificar se, ao calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
,
e
e somá-las, o resultado é zero. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar a equação de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A função
pode ser reescrita como
. Usando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Diferenciando
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
De maneira semelhante, ao calcular as segundas derivadas parciais em relação a
e
, obtemos:
Passo 5
Agora, vamos somar
,
e
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Resposta
Portanto, mostramos que
, ou seja, a função
satisfaz a equação de Laplace.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12,
é uma função continua arbitrária.
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Calcule
, sendo:
.
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: