Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem com condições iniciais. O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e vamos precisar usar métodos para resolver equações lineares com coeficientes constantes e encontrar a solução geral. Além disso, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas e, por fim, fazer um gráfico da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo na equação homogênea:
Vamos fatorar essa equação:
Agora, resolvemos :
Então, as raízes são , , e .

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde , , e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
A parte não homogênea é , então precisamos encontrar que satisfaça essa parte. Vamos supor uma solução particular da forma:
Onde , , e são constantes a serem encontradas.

Passo 5

Derivamos para substituir na equação original:
Substituindo na equação:
Observamos que os termos com se anulam, o que indica que precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular. Vamos tentar:
Derivando novamente:
Substituindo na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes:
Para :
Para o termo constante:
Mas isso não faz sentido, pois deve ser constante. Vamos ajustar nossa suposição novamente. Parece que precisamos separar os termos.
Vamos separar os termos de e :
Para o termo :
Assumimos
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso não é possível, então precisamos ajustar e assumir
Derivando:
Substituindo:
Igualando os coeficientes:
Para :
Para o termo constante:
Então, a solução particular para o termo é:
Agora, para o termo :
Assumimos
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso significa que nossa suposição está na forma da solução homogênea, então precisamos multiplicar por :
Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para o termo é:

Passo 6

Agora, juntamos as soluções particulares dos dois termos:
Como não há termo constante na parte não homogênea, podemos considerar para simplificar:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes , , e .
Primeiro, vamos calcular as derivadas de :
Agora, aplicamos as condições iniciais:
Para :

Passo 9

Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
Da equação 2:
Substituímos na equação 3:
Agora, encontramos :
Finalmente, substituímos e na equação 1:

Passo 10

Agora que temos todas as constantes, substituímos na solução geral:
Simplificando:

Resposta

A solução do problema é:
E o gráfico dessa função pode ser esboçado utilizando ferramentas de cálculo gráfico para visualizar o comportamento da solução ao longo do tempo.

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0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0 1,9 3,3 4,5 5,5 5,9 6,2
Considere os vetores e ache:
(a)