Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem com condições iniciais. O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e vamos precisar usar métodos para resolver equações lineares com coeficientes constantes e encontrar a solução geral. Além disso, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas e, por fim, fazer um gráfico da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo
na equação homogênea:
Vamos fatorar essa equação:
Agora, resolvemos
:
Então, as raízes são
,
, e
.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
,
, e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
A parte não homogênea é
, então precisamos encontrar
que satisfaça essa parte. Vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
,
, e
são constantes a serem encontradas.
Passo 5
Derivamos
para substituir na equação original:
Substituindo na equação:
Observamos que os termos com
se anulam, o que indica que precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular. Vamos tentar:
Derivando novamente:
Substituindo na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes:
Para
:
Para o termo constante:
Mas isso não faz sentido, pois
deve ser constante. Vamos ajustar nossa suposição novamente. Parece que precisamos separar os termos.
Vamos separar os termos de
e
:
Para o termo
:
Assumimos
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso não é possível, então precisamos ajustar e assumir
Derivando:
Substituindo:
Igualando os coeficientes:
Para
:
Para o termo constante:
Então, a solução particular para o termo
é:
Agora, para o termo
:
Assumimos
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso significa que nossa suposição está na forma da solução homogênea, então precisamos multiplicar por
:
Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para o termo
é:
Passo 6
Agora, juntamos as soluções particulares dos dois termos:
Como não há termo constante na parte não homogênea, podemos considerar
para simplificar:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
,
, e
.
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
:
Agora, aplicamos as condições iniciais:
Para
:
Passo 9
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
Da equação 2:
Substituímos na equação 3:
Agora, encontramos
:
Finalmente, substituímos
e
na equação 1:
Passo 10
Agora que temos todas as constantes, substituímos na solução geral:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema é:
E o gráfico dessa função pode ser esboçado utilizando ferramentas de cálculo gráfico para visualizar o comportamento da solução ao longo do tempo.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Ache uma equação do plano que verifique as condições dadas:
(b) Passa pelo ponto e é paralelo ao plano
.
(b) Passa pelo ponto
A velocidade de um corredor aumenta regularmente durante os três primeiros segundos de uma corrida. Sua velocidade em intervalos de meio segundo é dada em uma tabela. Ache as estimativas superior e inferior para a distância que ele percorreu durante esses três segundos.
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0 | 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 |
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0 | 1,9 | 3,3 | 4,5 | 5,5 | 5,9 | 6,2 |
Considere os vetores
e
ache:
(a)
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