Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução. y^prime prime prime-3 y^prime prime+2 y^prime=t+e^t ; y(0)=1, y^prime(0)=-14, y^prime prime(0)=-32

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem com condições iniciais. O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e vamos precisar usar métodos para resolver equações lineares com coeficientes constantes e encontrar a solução geral. Além disso, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas e, por fim, fazer um gráfico da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y''' - 3y'' + 2y' = 0
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo r^3 - 3r^2 + 2r = 0 na equação homogênea:
r(r^2 - 3r + 2) = 0
Vamos fatorar essa equação:
r = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
Agora, resolvemos :
Então, as raízes são , , e .

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^0 cdot t + C2 e^t + C3 e^2t = C1 + C2 e^t + C3 e^2t
Onde , , e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( y''' - 3y'' + 2y' = t + e^t ) para a equação completa:
yp(t) = At + B + Ce^t
A parte não homogênea é , então precisamos encontrar que satisfaça essa parte. Vamos supor uma solução particular da forma:
Onde , , e são constantes a serem encontradas.

Passo 5

Derivamos yp'(t) = A + Ce^t para substituir na equação original:
yp''(t) = Ce^t
yp'''(t) = Ce^t
Ce^t - 3Ce^t + 2(A + Ce^t) = t + e^t
Substituindo na equação:
Ce^t - 3Ce^t + 2A + 2Ce^t = t + e^t
( C - 3C + 2C )e^t + 2A = t + e^t
0e^t + 2A = t + e^t
yp(t) = At + B + Cte^t
Observamos que os termos com yp'(t) = A + Ce^t + Cte^t se anulam, o que indica que precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular. Vamos tentar:
yp''(t) = 2Ce^t + Cte^t
Derivando novamente:
yp'''(t) = 3Ce^t + Cte^t
3Ce^t + Cte^t - 3(2Ce^t + Cte^t) + 2(A + Ce^t + Cte^t) = t + e^t
3Ce^t + Cte^t - 6Ce^t - 3Cte^t + 2A + 2Ce^t + 2Cte^t = t + e^t
Substituindo na equação original:
(3C - 6C + 2C)e^t + (C - 3C + 2C)te^t + 2A = t + e^t
(-C)e^t + 0 cdot te^t + 2A = t + e^t
-C = 1 implies C = -1
2A = t implies A = t2
Agora, igualamos os coeficientes:
Para yp1'(t) = A :
yp1''(t) = 0
Para o termo constante:
yp1'''(t) = 0
Mas isso não faz sentido, pois 0 - 3 cdot 0 + 2A = t deve ser constante. Vamos ajustar nossa suposição novamente. Parece que precisamos separar os termos.
Vamos separar os termos de 2A = t e yp1'(t) = A + 2Ct :
Para o termo yp1''(t) = 2C :
Assumimos yp1'''(t) = 0
Derivando:
0 - 3 cdot 2C + 2(A + 2Ct) = t
-6C + 2A + 4Ct = t
4C = 1 implies C = 14
Substituindo na equação:
-6C + 2A = 0 implies -64 + 2A = 0 implies 2A = 32 implies A = 34
yp1(t) = 34t + B + 14t^2
Isso não é possível, então precisamos ajustar e assumir yp2'(t) = De^t
Derivando:
yp2''(t) = De^t
yp2'''(t) = De^t
De^t - 3De^t + 2De^t = e^t
Substituindo:
( D - 3D + 2D )e^t = e^t
0e^t = e^t
Igualando os coeficientes:
Para yp2(t) = Dte^t :
yp2'(t) = De^t + Dte^t
Para o termo constante:
yp2''(t) = 2De^t + Dte^t
Então, a solução particular para o termo yp2'''(t) = 3De^t + Dte^t é:
3De^t + Dte^t - 3(2De^t + Dte^t) + 2(De^t + Dte^t) = e^t
Agora, para o termo 3De^t + Dte^t - 6De^t - 3Dte^t + 2De^t + 2Dte^t = e^t :
Assumimos (3D - 6D + 2D)e^t + (D - 3D + 2D)te^t = e^t
Derivando:
(-D)e^t + 0 cdot te^t = e^t
-D = 1 implies D = -1
yp2(t) = -te^t
Substituindo na equação:
Isso significa que nossa suposição está na forma da solução homogênea, então precisamos multiplicar por :
Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para o termo é:

Passo 6

Agora, juntamos as soluções particulares dos dois termos:
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = 34t + B + 14t^2 - te^t
Como não há termo constante na parte não homogênea, podemos considerar yp(t) = 14t^2 + 34t - te^t para simplificar:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 + C2 e^t + C3 e^2t + 14t^2 + 34t - te^t

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes y'(t) = C2 e^t + 2C3 e^2t + 12t + 34 - e^t - te^t , y''(t) = C2 e^t + 4C3 e^2t + 12 - e^t - te^t , e y'''(t) = C2 e^t + 8C3 e^2t - e^t - te^t .
Primeiro, vamos calcular as derivadas de y(0) = C1 + C2 + C3 + 0 + 0 - 0 = 1 implies C1 + C2 + C3 = 1 :
y'(0) = C2 + 2C3 + 0 + 34 - 1 - 0 = -14 implies C2 + 2C3 - 14 = -14 implies C2 + 2C3 = 0
y''(0) = C2 + 4C3 + 12 - 1 - 0 = -32 implies C2 + 4C3 - 12 = -32 implies C2 + 4C3 = -1
Agora, aplicamos as condições iniciais:
Para :

Passo 9

Agora, temos um sistema de equações:
  1. C2 = -2C3
  2. -2C3 + 4C3 = -1 implies 2C3 = -1 implies C3 = -12
  3. C2 = -2 (-12) = 1
Vamos resolver esse sistema:
Da equação 2:
C1 + 1 - 12 = 1 implies C1 + 12 = 1 implies C1 = 12
Substituímos na equação 3:
Agora, encontramos :
Finalmente, substituímos e na equação 1:

Passo 10

Agora que temos todas as constantes, substituímos na solução geral:
y(t) = 12 + 1 cdot e^t - 12 e^2t + 14t^2 + 34t - te^t
Simplificando:
y(t) = 12 + e^t - 12 e^2t + 14t^2 + 34t - te^t

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 12 + e^t - 12 e^2t + 14t^2 + 34t - te^t
E o gráfico dessa função pode ser esboçado utilizando ferramentas de cálculo gráfico para visualizar o comportamento da solução ao longo do tempo.

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