A velocidade de um corredor aumenta regularmente durante os três primeiros segundos de uma corrida. Sua velocidade em intervalos de meio segundo é dada em uma tabela. Ache as estimativas superior e inferior para a distância que ele percorreu durante esses três segundos.
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0 | 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 |
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0 | 1,9 | 3,3 | 4,5 | 5,5 | 5,9 | 6,2 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corredor cuja velocidade aumenta de forma regular nos primeiros três segundos de uma corrida. Temos uma tabela que mostra a velocidade dele a cada meio segundo. Nosso objetivo aqui é estimar, de duas maneiras diferentes, a distância que ele percorreu nesses três segundos. Para isso, vamos usar conceitos de somas de Riemann, que são técnicas de cálculo usadas para aproximar áreas sob curvas, e nesse caso, a área representará a distância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a distância percorrida pode ser calculada integrando a velocidade em relação ao tempo. Como não temos uma função contínua para a velocidade, usamos os valores discretos da tabela para fazer essa estimativa. As estimativas superior e inferior vão nos dar limites para a distância real percorrida.
Passo 3
Para calcular a estimativa inferior, vamos usar os valores iniciais de cada intervalo de tempo. Isso significa que para cada meio segundo, consideramos a velocidade no início desse intervalo para calcular a distância. A fórmula fica assim:
Onde
são as velocidades nos instantes
segundos, e
segundos.
Calculando:
Passo 4
Agora, para a estimativa superior, usamos os valores finais de cada intervalo de tempo. Ou seja, consideramos a velocidade no final de cada meio segundo. A fórmula é:
Onde
são as velocidades nos instantes
segundos, e
segundos.
Calculando:
Resposta
As estimativas para a distância percorrida pelo corredor nos três primeiros segundos são:
- Estimativa Inferior: 10,55 metros
- Estimativa Superior: 13,15 metros
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Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Considere os vetores
e
ache:
(a)
(a)
Se
tem equações paramétricas
, ache as equações paramétricas da reta que passa por
e é paralela a
.