Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada. y^(4) + y''' = sen(2t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Esse é um problema de equações diferenciais lineares de ordem superior. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e de uma solução particular da equação completa. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Podemos fatorar (que nunca é zero) e obter a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação característica , fatoramos :
Isso nos dá as raízes (com multiplicidade 3) e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinamos pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é uma função seno, tentamos uma solução na forma:
onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :

Passo 8

Substituímos e suas derivadas na equação completa:
Agrupando os termos:

Passo 9

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 10

Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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