Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Esse é um problema de equações diferenciais lineares de ordem superior. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e de uma solução particular da equação completa. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Podemos fatorar
(que nunca é zero) e obter a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica
, fatoramos
:
Isso nos dá as raízes
(com multiplicidade 3) e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é uma função seno, tentamos uma solução na forma:
onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Passo 8
Substituímos
e suas derivadas na equação completa:
Agrupando os termos:
Passo 9
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Passo 10
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.