Em cada um dos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial do tipo com a condição inicial . Isso está na matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear: . No nosso caso, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto :
Isso acontece porque .

Passo 6

Agora, integremos ambos os lados em relação a :
À esquerda, a integral da derivada é simplesmente . À direita, precisamos usar a técnica de integração por partes para resolver .

Passo 7

Vamos aplicar a integração por partes onde:
  • Seja e .
  • Então, e .
Aplicando a fórmula :

Passo 8

Voltando à nossa equação integrada:
Agora, vamos isolar multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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