Em cada um dos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
9.
9.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Isso está na matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
. No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Isso acontece porque
.
Passo 6
Agora, integremos ambos os lados em relação a
:
À esquerda, a integral da derivada é simplesmente
. À direita, precisamos usar a técnica de integração por partes para resolver
.
Passo 7
Vamos aplicar a integração por partes onde:
- Seja
e . - Então,
e .
Aplicando a fórmula
:
Passo 8
Voltando à nossa equação integrada:
Agora, vamos isolar
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das das superfícies
(cone) e o plano
.
Sejam
duas funções diferenciais e
uma função diferenciável. Mostre que
, se
. A norma
.
Sejam
duas funções diferenciais e
uma função diferenciável. Mostre que
.
Determine o comprimento da curva dada.
.