Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das das superfícies
(cone) e o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que está no cálculo vetorial. A questão pede para encontrarmos a função vetorial que representa a curva formada pela interseção entre o cone dado pela equação
e o plano
. Ou seja, vamos descobrir como essas duas superfícies se cruzam no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a equação do plano
na equação do cone
. Assim, substituindo z:
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação:
Passo 4
Em seguida, simplificamos a equação cancelando
de ambos os lados:
Passo 5
Resolvendo para y, temos:
Passo 6
Agora, para parametrizar a curva, escolhemos x como parâmetro, isto é, deixamos x ser igual a t. Então:
Passo 7
Substituindo x = t na equação do plano, encontramos z:
Passo 8
E já temos y em termos de t:
Resposta
A função vetorial que representa a curva de interseção é: