Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das das superfícies z^2 = x^2 + y^2 (cone) e o plano z = 2 - x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está no cálculo vetorial. A questão pede para encontrarmos a função vetorial que representa a curva formada pela interseção entre o cone dado pela equação e o plano . Ou seja, vamos descobrir como essas duas superfícies se cruzam no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a equação do plano na equação do cone . Assim, substituindo z:

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação:

Passo 4

Em seguida, simplificamos a equação cancelando de ambos os lados:

Passo 5

Resolvendo para y, temos:

Passo 6

Agora, para parametrizar a curva, escolhemos x como parâmetro, isto é, deixamos x ser igual a t. Então:

Passo 7

Substituindo x = t na equação do plano, encontramos z:

Passo 8

E já temos y em termos de t:

Resposta

A função vetorial que representa a curva de interseção é:

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