Determine o comprimento da curva dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de uma curva definida pela função vetorial
no intervalo de
de 0 a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o comprimento de uma curva
de
até
é dado pela integral da norma da derivada de
em relação a
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada de
e
é o comprimento (ou norma) desse vetor.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Derivando cada componente em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a norma de
. A norma de um vetor
é dada por:
Aplicando isso em
:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral para o comprimento da curva:
Essa integral pode parecer complicada, mas vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz. Observando
, percebemos que ela pode ser escrita como um quadrado perfeito:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Como
é sempre positivo para qualquer valor de
, podemos retirar o valor absoluto:
Passo 7
Agora, vamos calcular essa integral:
Calculando cada parte:
Passo 8
Somando os resultados das integrais:
Resposta
O comprimento da curva
no intervalo de
a
é 2 unidades.
Exercícios relacionados
Sejam
duas funções diferenciais e
uma função diferenciável. Mostre que
.
Em cada um dos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
9.
9.
Encontre uma equação para a reta normal à curva de intersecção dos cilindros
e
no ponto
.
Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.3.