Determine o comprimento da curva dada. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de uma curva definida pela função vetorial no intervalo de de 0 a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o comprimento de uma curva de até é dado pela integral da norma da derivada de em relação a . A fórmula é:
Aqui, é a derivada de e é o comprimento (ou norma) desse vetor.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Derivando cada componente em relação a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a norma de . A norma de um vetor é dada por:
Aplicando isso em :

Passo 5

Agora, vamos montar a integral para o comprimento da curva:
Essa integral pode parecer complicada, mas vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz. Observando , percebemos que ela pode ser escrita como um quadrado perfeito:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
Como é sempre positivo para qualquer valor de , podemos retirar o valor absoluto:

Passo 7

Agora, vamos calcular essa integral:
Calculando cada parte:

Passo 8

Somando os resultados das integrais:

Resposta

O comprimento da curva no intervalo de a é 2 unidades.

Exercícios relacionados

Sejam duas funções diferenciais e uma função diferenciável. Mostre que .
Em cada um dos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
9.
Encontre uma equação para a reta normal à curva de intersecção dos cilindros e no ponto .
Define-se a convolução de duas funções e por
6.3.