Sejam duas funções diferenciais e uma função diferenciável. Mostre que , se . A norma .

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a derivada da norma de uma função vetorial é igual ao produto interno de com sua derivada dividido pela norma de . Estamos trabalhando com cálculo de funções vetoriais no espaço tridimensional . Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de norma de um vetor e as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma de um vetor é dada por:
Aqui, representa o produto interno de consigo mesmo, que no caso de vetores em é a soma dos quadrados de suas componentes.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada de em relação a . Vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas. Se temos uma função composta , sua derivada é:
No nosso caso, , então vamos derivar isso.

Passo 4

Calculando a derivada de :
Para derivar o produto interno, usamos a propriedade de que a derivada do produto interno é o produto interno do vetor com a derivada do outro vetor mais o produto interno da derivada do primeiro vetor com o segundo vetor. Como estamos derivando , que é o produto interno de consigo mesmo, temos:

Passo 5

Agora, substituímos e na derivada da norma:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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