Sejam
duas funções diferenciais e
uma função diferenciável. Mostre que
, se
. A norma
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a derivada da norma de uma função vetorial
é igual ao produto interno de
com sua derivada
dividido pela norma de
. Estamos trabalhando com cálculo de funções vetoriais no espaço tridimensional
. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de norma de um vetor e as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma
de um vetor
é dada por:
Aqui,
representa o produto interno de
consigo mesmo, que no caso de vetores em
é a soma dos quadrados de suas componentes.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada de
em relação a
. Vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas. Se temos uma função composta
, sua derivada é:
No nosso caso,
, então vamos derivar isso.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Para derivar o produto interno, usamos a propriedade de que a derivada do produto interno é o produto interno do vetor com a derivada do outro vetor mais o produto interno da derivada do primeiro vetor com o segundo vetor. Como estamos derivando
, que é o produto interno de
consigo mesmo, temos:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na derivada da norma:
Resposta
Portanto, mostramos que: