Sejam duas funções diferenciais e uma função diferenciável. Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente mostrar que a derivada da soma de duas funções diferenciais e é igual à soma das derivadas dessas funções. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre a linearidade da derivada. Para resolver isso, vamos lembrar como derivar cada função e depois juntar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que derivar uma função significa encontrar a taxa de variação dela em relação a . Para funções vetoriais como e , a derivada é calculada componente a componente.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da soma . Isso significa que estamos somando as funções primeiro e depois derivando o resultado.

Passo 4

Agora, aplicamos a propriedade da derivada que diz que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja:

Passo 5

Reconhecendo que é simplesmente e é , podemos escrever:

Resposta

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Em cada um dos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
9.
Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das das superfícies (cone) e o plano .
Determine o comprimento da curva dada. .
Encontre uma equação para a reta normal à curva de intersecção dos cilindros e no ponto .