Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
focos
, vértices
;
focos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá os focos da hipérbole em
e os vértices em
. Isso significa que estamos lidando com uma hipérbole que está centralizada na origem e abre-se ao longo do eixo x. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula padrão da hipérbole e entender como os valores dos focos e vértices se relacionam com os parâmetros dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula padrão da hipérbole centrada na origem que abre na horizontal:
Aqui,
é a distância do centro aos vértices, e
é a distância do centro aos focos. Além disso, sabemos que
.
Passo 3
Pelo enunciado, os vértices estão em
, então a distância
. Os focos estão em
, então a distância
.
Passo 4
Agora, vamos usar a relação
para encontrar o valor de
:
Passo 5
Com os valores de
e
, podemos substituir na fórmula padrão da hipérbole:
Resposta
A equação da hipérbole é: