Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
focos F( pm 5,0), vértices A( pm 3,0);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá os focos da hipérbole em e os vértices em . Isso significa que estamos lidando com uma hipérbole que está centralizada na origem e abre-se ao longo do eixo x. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula padrão da hipérbole e entender como os valores dos focos e vértices se relacionam com os parâmetros dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula padrão da hipérbole centrada na origem que abre na horizontal:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Aqui, é a distância do centro aos vértices, e é a distância do centro aos focos. Além disso, sabemos que .

Passo 3

Pelo enunciado, os vértices estão em , então a distância . Os focos estão em , então a distância .

Passo 4

Agora, vamos usar a relação c^2 = a^2 + b^2 5^2 = 3^2 + b^2 25 = 9 + b^2 b^2 = 25 - 9 b^2 = 16 para encontrar o valor de :

Passo 5

Com os valores de x^29 - y^216 = 1 e , podemos substituir na fórmula padrão da hipérbole:

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^29 - y^216 = 1

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