Determine em cada caso os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole dada pela equação . A matéria que vamos usar aqui é a de hipérboles, que faz parte da geometria analítica. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da hipérbole e depois identificar os parâmetros importantes.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é . Vamos isolar os termos com e :
Agora, vamos dividir os dois lados por -3 para facilitar a transformação:
Simplificando:
Essa forma ainda não está na padrão que conhecemos, então multiplicamos por -1 para ficar melhor:
Opa, parece que precisamos reavaliar. Vamos tentar novamente:
Inicialmente, rearranjamos a equação:
Dividindo por -3:
Reescrevendo para a forma padrão:
Agora está na forma padrão da hipérbole vertical: .
Passo 3
Identificamos os parâmetros da hipérbole. Comparando com a forma padrão , temos:
então
então
Com isso, podemos encontrar usando a relação para hipérboles verticais: .
Passo 4
Agora, vamos determinar os vértices e os focos.
Vérices e :
Como a hipérbole é vertical, os vértices estão ao longo do eixo y, a uma distância do centro. O centro aqui é a origem .
Focos e :
Também ao longo do eixo y, a uma distância do centro.
Passo 5
Vamos achar as assíntotas da hipérbole. Para uma hipérbole vertical na forma , as assíntotas são dadas por:
Substituindo os valores de e :
Resposta
Os vértices da hipérbole são e . Os focos são e . As assíntotas são as retas e .