Determine em cada caso os vértices V1 e V2, os focos F1 e F2 e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma. 3 x^2-y^2+3=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole dada pela equação . A matéria que vamos usar aqui é a de hipérboles, que faz parte da geometria analítica. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da hipérbole e depois identificar os parâmetros importantes.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é 3x^2 - y^2 = -3 . Vamos isolar os termos com -3x^23 + y^23 = 1 e -x^2 + y^23 = 1 :
x^2 - y^23 = -1
Agora, vamos dividir os dois lados por -3 para facilitar a transformação:
3x^2 - y^2 = -3
Simplificando:
-x^2 + y^23 = 1
Essa forma ainda não está na padrão que conhecemos, então multiplicamos por -1 para ficar melhor:
y^23 - x^2 = 1
Opa, parece que precisamos reavaliar. Vamos tentar novamente:
Inicialmente, rearranjamos a equação:
Dividindo por -3:
Reescrevendo para a forma padrão:
Agora está na forma padrão da hipérbole vertical: .

Passo 3

Identificamos os parâmetros da hipérbole. Comparando com a forma padrão c^2 = 3 + 1 = 4 , temos:
  • c = raiz4 = 2 então
  • então
Com isso, podemos encontrar usando a relação para hipérboles verticais: .

Passo 4

Agora, vamos determinar os vértices e os focos.
Vérices V1 = (0, a) = (0, raiz3) e V2 = (0, -a) = (0, -raiz3) :
Como a hipérbole é vertical, os vértices estão ao longo do eixo y, a uma distância F1 = (0, c) = (0, 2) do centro. O centro aqui é a origem F2 = (0, -c) = (0, -2) .
Focos e :
Também ao longo do eixo y, a uma distância do centro.

Passo 5

Vamos achar as assíntotas da hipérbole. Para uma hipérbole vertical na forma y = pm abx , as assíntotas são dadas por:
y = pm raiz31x
Substituindo os valores de y = pm raiz3x e :

Resposta

Os vértices da hipérbole são e . Os focos são e . As assíntotas são as retas e .

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