Determine em cada caso os vértices
e
, os focos
e
e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os vértices
e
, os focos
e
e as assíntotas da hipérbole dada pela equação
. A matéria que vamos usar aqui é a de hipérboles, que faz parte da geometria analítica. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da hipérbole e depois identificar os parâmetros importantes.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é
. Vamos isolar os termos com
e
:
Agora, vamos dividir os dois lados por -3 para facilitar a transformação:
Simplificando:
Essa forma ainda não está na padrão que conhecemos, então multiplicamos por -1 para ficar melhor:
Opa, parece que precisamos reavaliar. Vamos tentar novamente:
Inicialmente, rearranjamos a equação:
Dividindo por -3:
Reescrevendo para a forma padrão:
Agora está na forma padrão da hipérbole vertical:
.
Passo 3
Identificamos os parâmetros da hipérbole. Comparando com a forma padrão
, temos:
-
então -
então
Com isso, podemos encontrar
usando a relação para hipérboles verticais:
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os vértices e os focos.
Vérices
e
:
Como a hipérbole é vertical, os vértices estão ao longo do eixo y, a uma distância do centro. O centro aqui é a origem
.
Como a hipérbole é vertical, os vértices estão ao longo do eixo y, a uma distância
Focos
e
:
Também ao longo do eixo y, a uma distância do centro.
Também ao longo do eixo y, a uma distância
Passo 5
Vamos achar as assíntotas da hipérbole. Para uma hipérbole vertical na forma
, as assíntotas são dadas por:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
Os vértices da hipérbole são
e
. Os focos são
e
. As assíntotas são as retas
e
.