Determine em cada caso os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole dada pela equação . A matéria que vamos usar aqui é a de hipérboles, que faz parte da geometria analítica. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da hipérbole e depois identificar os parâmetros importantes.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é . Vamos isolar os termos com e :
Agora, vamos dividir os dois lados por -3 para facilitar a transformação:
Simplificando:
Essa forma ainda não está na padrão que conhecemos, então multiplicamos por -1 para ficar melhor:
Opa, parece que precisamos reavaliar. Vamos tentar novamente:
Inicialmente, rearranjamos a equação:
Dividindo por -3:
Reescrevendo para a forma padrão:
Agora está na forma padrão da hipérbole vertical: .

Passo 3

Identificamos os parâmetros da hipérbole. Comparando com a forma padrão , temos:
  • então
  • então
Com isso, podemos encontrar usando a relação para hipérboles verticais: .

Passo 4

Agora, vamos determinar os vértices e os focos.
Vérices e :
Como a hipérbole é vertical, os vértices estão ao longo do eixo y, a uma distância do centro. O centro aqui é a origem .
Focos e :
Também ao longo do eixo y, a uma distância do centro.

Passo 5

Vamos achar as assíntotas da hipérbole. Para uma hipérbole vertical na forma , as assíntotas são dadas por:
Substituindo os valores de e :

Resposta

Os vértices da hipérbole são e . Os focos são e . As assíntotas são as retas e .

Exercícios relacionados

Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
focos , vértices ;
Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os sistemas:
Escrever as equações das hipérboles, em relação às quais se dão as seguintes condições:
(a) Medida do eixo transverso 8; focos e .
(a) quatro pontos distintos de ;
(b) se ;
© se (d) se ;
(e) interseção com eixo ; (f) interseção com plano span .