Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os sistemas:
lx1+2 x2-3 x4+x5=2 x1+2 x2+x3-3 x4+x5+2 x6=3 x1+2 x2-3 x4+2 x5+x6=4 3 x1+6 x2+x3-9 x4+4 x5+3 x6=9

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver um sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Jordan. Isso significa que vamos transformar o sistema em uma matriz aumentada e aplicar operações para chegar na forma reduzida, facilitando encontrar os valores das incógnitas. Vamos precisar organizar bem as equações e fazer umas manobras com as linhas da matriz para isolar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada reúne os coeficientes das variáveis e os termos independentes das equações. Nosso sistema é:
x1 + 2x2 - 3x4 + x5 = 2 x1 + 2x2 + x3 - 3x4 + x5 + 2x6 = 3 x1 + 2x2 - 3x4 + 2x5 + x6 = 4 3x1 + 6x2 + x3 - 9x4 + 4x5 + 3x6 = 9
Então, a matriz aumentada fica assim:
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 2 1 & 2 & 1 & -3 & 1 & 2 & | & 3 1 & 2 & 0 & -3 & 2 & 1 & | & 4 3 & 6 & 1 & -9 & 4 & 3 & | & 9

Passo 3

Vamos começar a simplificar a matriz. Nosso objetivo é ter 1 em cada posição da diagonal principal e zeros abaixo e acima dela. Começamos com a primeira coluna. Já temos um 1 na primeira posição (linha 1, coluna 1). Agora, vamos zerar os outros valores dessa coluna.
Para a linha 2 e linha 3, subtraímos a linha 1 delas. Para a linha 4, subtraímos 3 vezes a linha 1 dela.
  • Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
1 - 1 = 0 2 - 2 = 0 1 - 0 = 1 -3 - (-3) = 0 1 - 1 = 0 2 - 0 = 2 3 - 2 = 1
Nova Linha 2: 1 - 1 = 0 2 - 2 = 0 0 - 0 = 0 -3 - (-3) = 0 2 - 1 = 1 1 - 0 = 1 4 - 2 = 2
  • Linha 3 = Linha 3 - Linha 1:
3 - 3(1) = 0 6 - 3(2) = 0 1 - 3(0) = 1 -9 - 3(-3) = 0 4 - 3(1) = 1 3 - 3(0) = 3 9 - 3(2) = 3
Nova Linha 3: 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & | & 3
  • Linha 4 = Linha 4 - 3 Linha 1:
Nova Linha 4:
A matriz agora fica:

Passo 4

Agora, olhamos para a segunda coluna. Percebemos que as duas primeiras colunas já estão com 1 e 0 em posições estratégicas. Vamos para a terceira coluna. Temos um 1 na linha 2 e na linha 4. Precisamos zerar o elemento na linha 4.
Para isso, subtraímos a linha 2 da linha 4.
  • Linha 4 = Linha 4 - Linha 2:
0 - 0 = 0 0 - 0 = 0 1 - 1 = 0 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 3 - 2 = 1 3 - 1 = 2
Nova Linha 4: 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2
Agora, a matriz fica:

Passo 5

Observamos que a linha 3 e a linha 4 são iguais. Isso significa que uma delas é redundante e podemos descartá-la. Vamos eliminar a linha 4.
A matriz atualizada:
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2

Passo 6

Agora, nossa matriz está quase na forma reduzida. Vamos escrever as equações correspondentes:
Observamos que as variáveis , e não estão completamente determinadas, então elas serão nossas variáveis livres.

Passo 7

Vamos expressar as variáveis em termos das livres.
  • Da equação 3: x1 = 2 - 2x2 + 3x4 - (2 - x6) x1 = 2 - 2x2 + 3x4 - 2 + x6 x1 = -2x2 + 3x4 + x6
  • Da equação 2:
  • Da equação 1:
Substituindo na equação 1:

Resposta

A solução do sistema é expressa em termos das variáveis livres x1 = -2x2 + 3x4 + x6 x3 = 1 - 2x6 x5 = 2 - x6 x2, x4, x6 podem ser quaisquer números reais , e :
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