Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os sistemas:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver um sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Jordan. Isso significa que vamos transformar o sistema em uma matriz aumentada e aplicar operações para chegar na forma reduzida, facilitando encontrar os valores das incógnitas. Vamos precisar organizar bem as equações e fazer umas manobras com as linhas da matriz para isolar as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada reúne os coeficientes das variáveis e os termos independentes das equações. Nosso sistema é:
Então, a matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Vamos começar a simplificar a matriz. Nosso objetivo é ter 1 em cada posição da diagonal principal e zeros abaixo e acima dela. Começamos com a primeira coluna. Já temos um 1 na primeira posição (linha 1, coluna 1). Agora, vamos zerar os outros valores dessa coluna.
Para a linha 2 e linha 3, subtraímos a linha 1 delas. Para a linha 4, subtraímos 3 vezes a linha 1 dela.
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
Nova Linha 2:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1:
Nova Linha 3:
Linha 4 = Linha 4 - 3 Linha 1:
Nova Linha 4:
A matriz agora fica:
Passo 4
Agora, olhamos para a segunda coluna. Percebemos que as duas primeiras colunas já estão com 1 e 0 em posições estratégicas. Vamos para a terceira coluna. Temos um 1 na linha 2 e na linha 4. Precisamos zerar o elemento na linha 4.
Para isso, subtraímos a linha 2 da linha 4.
Linha 4 = Linha 4 - Linha 2:
Nova Linha 4:
Agora, a matriz fica:
Passo 5
Observamos que a linha 3 e a linha 4 são iguais. Isso significa que uma delas é redundante e podemos descartá-la. Vamos eliminar a linha 4.
A matriz atualizada:
Passo 6
Agora, nossa matriz está quase na forma reduzida. Vamos escrever as equações correspondentes:
Observamos que as variáveis , e não estão completamente determinadas, então elas serão nossas variáveis livres.
Passo 7
Vamos expressar as variáveis em termos das livres.
Da equação 3:
Da equação 2:
Da equação 1:
Substituindo na equação 1:
Resposta
A solução do sistema é expressa em termos das variáveis livres , e :