Escrever as equações das hipérboles, em relação às quais se dão as seguintes condições:
(a) Medida do eixo transverso 8; focos F1(-5,0) e F2(5,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever a equação de uma hipérbole que tem o eixo transverso medindo 8 unidades e os focos nas coordenadas e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Como os focos estão em Centro = ( -5 + 52, 0 + 02 ) = (0,0) e , o centro fica no ponto médio entre eles. Calculando o ponto médio:
Então, o centro da hipérbole é .

Passo 3

Sabemos que na hipérbole padrão com eixo transverso no eixo x^2a^2 - y^2b^2 = 1 , a equação geral é:
Onde:
  • é a medida do eixo transverso.
  • é a distância de cada foco ao centro.
  • está relacionado à abertura da hipérbole e é calculado pela relação .

Passo 4

Vamos encontrar o valor de a = 82 = 4 . O enunciado diz que o eixo transverso mede 8 unidades. Já que , temos:

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar o valor de c = 5 . Os focos estão a e no eixo , então a distância do centro a cada foco é:

Passo 6

Agora, vamos calcular c^2 = a^2 + b^2 5^2 = 4^2 + b^2 25 = 16 + b^2 b^2 = 25 - 16 b^2 = 9 b = 3 usando a relação das hipérboles:

Passo 7

Com os valores de x^2a^2 - y^2b^2 = 1 x^216 - y^29 = 1 e encontrados, podemos substituir na equação padrão da hipérbole:

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^216 - y^29 = 1

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