Escrever as equações das hipérboles, em relação às quais se dão as seguintes condições:
(a) Medida do eixo transverso 8; focos
e
.
(a) Medida do eixo transverso 8; focos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever a equação de uma hipérbole que tem o eixo transverso medindo 8 unidades e os focos nas coordenadas
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Como os focos estão em
e
, o centro fica no ponto médio entre eles. Calculando o ponto médio:
Então, o centro da hipérbole é
.
Passo 3
Sabemos que na hipérbole padrão com eixo transverso no eixo
, a equação geral é:
Onde:
-
é a medida do eixo transverso. -
é a distância de cada foco ao centro. -
está relacionado à abertura da hipérbole e é calculado pela relação .
Passo 4
Vamos encontrar o valor de
. O enunciado diz que o eixo transverso mede 8 unidades. Já que
, temos:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar o valor de
. Os focos estão a
e
no eixo
, então a distância do centro a cada foco é:
Passo 6
Agora, vamos calcular
usando a relação das hipérboles:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, podemos substituir na equação padrão da hipérbole:
Resposta
A equação da hipérbole é:
Exercícios relacionados
Determine em cada caso os vértices
e
, os focos
e
e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.
Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
focos , vértices
;
focos
(a) quatro pontos distintos de
;
(b) se ;
© se (d) se
;
(e) interseção com eixo ; (f) interseção com plano span
.
(b) se
© se
(e) interseção com eixo
Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
focos , eixo real de medida 2 ;
focos