Escrever as equações das hipérboles, em relação às quais se dão as seguintes condições:
(a) Medida do eixo transverso 8; focos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever a equação de uma hipérbole que tem o eixo transverso medindo 8 unidades e os focos nas coordenadas e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Como os focos estão em e , o centro fica no ponto médio entre eles. Calculando o ponto médio:
Então, o centro da hipérbole é .

Passo 3

Sabemos que na hipérbole padrão com eixo transverso no eixo , a equação geral é:
Onde:
  • é a medida do eixo transverso.
  • é a distância de cada foco ao centro.
  • está relacionado à abertura da hipérbole e é calculado pela relação .

Passo 4

Vamos encontrar o valor de . O enunciado diz que o eixo transverso mede 8 unidades. Já que , temos:

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar o valor de . Os focos estão a e no eixo , então a distância do centro a cada foco é:

Passo 6

Agora, vamos calcular usando a relação das hipérboles:

Passo 7

Com os valores de e encontrados, podemos substituir na equação padrão da hipérbole:

Resposta

A equação da hipérbole é:

Exercícios relacionados

Determine em cada caso os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.
Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
focos , vértices ;
(a) quatro pontos distintos de ;
(b) se ;
© se (d) se ;
(e) interseção com eixo ; (f) interseção com plano span .
Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
focos , eixo real de medida 2 ;