Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
focos F(0, pm 4), eixo real de medida 2 ;

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar a equação de uma hipérbole que tem dois focos em e o eixo real tem comprimento 2.
Conteúdo necessário: Para resolver isso, vamos usar as propriedades da hipérbole, como a posição dos focos, o comprimento do eixo real (também conhecido como eixo transversal) e a relação entre esses elementos para determinar a equação da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos dados:
  • Focos: Os focos estão em e . Isso indica que a hipérbole é vertical, ou seja, ela abre para cima e para baixo.
  • Eixo Real: O comprimento do eixo real é 2, então podemos escrever , o que nos dá .

Passo 3

Nas hipérboles, existe uma relação importante entre os parâmetros c^2 = a^2 + b^2 , c^2 = a^2 + b^2 16 = 1 + b^2 b^2 = 15 e , onde:
Aqui, representa a distância dos focos ao centro da hipérbole.
Sabemos que e . Vamos calcular :

Passo 4

Agora que temos y^2a^2 - x^2b^2 = 1 e y^21 - x^215 = 1 ou y^2 - x^215 = 1 , podemos escrever a equação padrão da hipérbole vertical centrada na origem:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A equação da hipérbole é . O gráfico dessa hipérbole é uma figura que abre para cima e para baixo, com focos em e vértices em .

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