Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
focos , eixo real de medida 2 ;

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar a equação de uma hipérbole que tem dois focos em e o eixo real tem comprimento 2.
Conteúdo necessário: Para resolver isso, vamos usar as propriedades da hipérbole, como a posição dos focos, o comprimento do eixo real (também conhecido como eixo transversal) e a relação entre esses elementos para determinar a equação da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos dados:
  • Focos: Os focos estão em e . Isso indica que a hipérbole é vertical, ou seja, ela abre para cima e para baixo.
  • Eixo Real: O comprimento do eixo real é 2, então podemos escrever , o que nos dá .

Passo 3

Nas hipérboles, existe uma relação importante entre os parâmetros , e , onde:
Aqui, representa a distância dos focos ao centro da hipérbole.
Sabemos que e . Vamos calcular :

Passo 4

Agora que temos e , podemos escrever a equação padrão da hipérbole vertical centrada na origem:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A equação da hipérbole é . O gráfico dessa hipérbole é uma figura que abre para cima e para baixo, com focos em e vértices em .

Exercícios relacionados

(a) quatro pontos distintos de ;
(b) se ;
© se (d) se ;
(e) interseção com eixo ; (f) interseção com plano span .
Escrever as equações das hipérboles, em relação às quais se dão as seguintes condições:
(a) Medida do eixo transverso 8; focos e .
Determine os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas das hipérboles dadas a seguir. Faça-um esboço.
Considere o operador linear do definido por e . é inversível? Se for, determine o isomorfismo inverso.