Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
focos
, eixo real de medida 2 ;
focos
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar a equação de uma hipérbole que tem dois focos em
e o eixo real tem comprimento 2.
Conteúdo necessário: Para resolver isso, vamos usar as propriedades da hipérbole, como a posição dos focos, o comprimento do eixo real (também conhecido como eixo transversal) e a relação entre esses elementos para determinar a equação da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos dados:
-
Focos: Os focos estão em
e . Isso indica que a hipérbole é vertical, ou seja, ela abre para cima e para baixo. -
Eixo Real: O comprimento do eixo real é 2, então podemos escrever
, o que nos dá .
Passo 3
Nas hipérboles, existe uma relação importante entre os parâmetros
,
e
, onde:
Aqui,
representa a distância dos focos ao centro da hipérbole.
Sabemos que
e
. Vamos calcular
:
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos escrever a equação padrão da hipérbole vertical centrada na origem:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A equação da hipérbole é
. O gráfico dessa hipérbole é uma figura que abre para cima e para baixo, com focos em
e vértices em
.