Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
focos
, eixo real de medida 2 ;
focos
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar a equação de uma hipérbole que tem dois focos em
e o eixo real tem comprimento 2.
Conteúdo necessário: Para resolver isso, vamos usar as propriedades da hipérbole, como a posição dos focos, o comprimento do eixo real (também conhecido como eixo transversal) e a relação entre esses elementos para determinar a equação da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos dados:
-
Focos: Os focos estão em
e . Isso indica que a hipérbole é vertical, ou seja, ela abre para cima e para baixo. -
Eixo Real: O comprimento do eixo real é 2, então podemos escrever
, o que nos dá .
Passo 3
Nas hipérboles, existe uma relação importante entre os parâmetros
,
e
, onde:
Aqui,
representa a distância dos focos ao centro da hipérbole.
Sabemos que
e
. Vamos calcular
:
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos escrever a equação padrão da hipérbole vertical centrada na origem:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A equação da hipérbole é
. O gráfico dessa hipérbole é uma figura que abre para cima e para baixo, com focos em
e vértices em
.
Exercícios relacionados
(a) quatro pontos distintos de
;
(b) se ;
© se (d) se
;
(e) interseção com eixo ; (f) interseção com plano span
.
(b) se
© se
(e) interseção com eixo
Escrever as equações das hipérboles, em relação às quais se dão as seguintes condições:
(a) Medida do eixo transverso 8; focos e
.
(a) Medida do eixo transverso 8; focos
Determine os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas das hipérboles dadas a seguir. Faça-um esboço.
Considere o operador linear
do
definido por
e
.
é inversível? Se for, determine o isomorfismo inverso.