Determine os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas das hipérboles dadas a seguir. Faça-um esboço.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas da hipérbole dada pela equação . A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles, para resolver isso. Vamos precisar entender a forma padrão da equação da hipérbole e identificar os parâmetros importantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é:
Dividindo ambos os lados por 16 para colocar na forma padrão:
Isso nos mostra que a hipérbole está na forma:
Onde e .

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de e :
Esses valores são importantes para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

Passo 4

Para encontrar os vértices da hipérbole, usamos a fórmula:
Como , os vértices são:
e

Passo 5

Os focos da hipérbole são encontrados usando a relação:
Substituindo os valores:
Então,
Os focos estão posicionados em:
e

Passo 6

A excentricidade da hipérbole é dada por:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 7

As assíntotas da hipérbole são as linhas que a hipérbole se aproxima. A equação das assíntotas é:
Como e :
Então, as assíntotas são as retas:
e

Resposta

Os vértices da hipérbole são e . Os focos estão em e . A excentricidade é e as assíntotas são as retas e . Além disso, o esboço da hipérbole seria uma figura com a abertura vertical passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas.

Exercícios relacionados

Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
focos , eixo real de medida 2 ;
(a) quatro pontos distintos de ;
(b) se ;
© se (d) se ;
(e) interseção com eixo ; (f) interseção com plano span .
Considere o operador linear do definido por e . é inversível? Se for, determine o isomorfismo inverso.
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) definida por .