Determine os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas das hipérboles dadas a seguir. Faça-um esboço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas da hipérbole dada pela equação
. A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles, para resolver isso. Vamos precisar entender a forma padrão da equação da hipérbole e identificar os parâmetros importantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é:
Dividindo ambos os lados por 16 para colocar na forma padrão:
Isso nos mostra que a hipérbole está na forma:
Onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores de
e
:
Esses valores são importantes para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.
Passo 4
Para encontrar os vértices da hipérbole, usamos a fórmula:
Como
, os vértices são:
Passo 5
Os focos da hipérbole são encontrados usando a relação:
Substituindo os valores:
Então,
Os focos estão posicionados em:
Passo 6
A excentricidade
da hipérbole é dada por:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 7
As assíntotas da hipérbole são as linhas que a hipérbole se aproxima. A equação das assíntotas é:
Como
e
:
Então, as assíntotas são as retas:
Resposta
Os vértices da hipérbole são
e
. Os focos estão em
e
. A excentricidade é
e as assíntotas são as retas
e
. Além disso, o esboço da hipérbole seria uma figura com a abertura vertical passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
focos , eixo real de medida 2 ;
focos
(a) quatro pontos distintos de
;
(b) se ;
© se (d) se
;
(e) interseção com eixo ; (f) interseção com plano span
.
(b) se
© se
(e) interseção com eixo
Considere o operador linear
do
definido por
e
.
é inversível? Se for, determine o isomorfismo inverso.
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) definida por
.
(a)