Determine os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas das hipérboles dadas a seguir. Faça-um esboço. y^2-x^2=16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas da hipérbole dada pela equação . A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles, para resolver isso. Vamos precisar entender a forma padrão da equação da hipérbole e identificar os parâmetros importantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é:
y^2 - x^2 = 16
Dividindo ambos os lados por 16 para colocar na forma padrão:
y^216 - x^216 = 1
Isso nos mostra que a hipérbole está na forma:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Onde e .

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de a = raiz16 = 4 e b = raiz16 = 4 :
Esses valores são importantes para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

Passo 4

Para encontrar os vértices da hipérbole, usamos a fórmula:
(0, pm a)
Como (0, 4) , os vértices são:
(0, -4) e

Passo 5

Os focos da hipérbole são encontrados usando a relação:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores:
c^2 = 16 + 16 = 32
Então,
c = raiz32 = 4raiz2
Os focos estão posicionados em:
(0, 4raiz2) e (0, -4raiz2)

Passo 6

A excentricidade e = ca da hipérbole é dada por:
e = 4raiz24 = raiz2
Substituindo os valores encontrados:

Passo 7

As assíntotas da hipérbole são as linhas que a hipérbole se aproxima. A equação das assíntotas é:
y = pm abx
Como y = pm x e y = x :
y = -x
Então, as assíntotas são as retas:
e

Resposta

Os vértices da hipérbole são e . Os focos estão em e . A excentricidade é e as assíntotas são as retas e . Além disso, o esboço da hipérbole seria uma figura com a abertura vertical passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas.

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