Considere o operador linear do definido por e . é inversível? Se for, determine o isomorfismo inverso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um operador linear no espaço . A gente precisa descobrir se esse operador é inversível, ou seja, se existe um outro operador que “desfaz” o que faz. Se for o caso, também temos que encontrar esse inverso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um operador linear e como representá-lo com uma matriz. Um operador linear em pode ser representado por uma matriz tal que , onde é um vetor em .
Passo 3
Para encontrar a matriz que representa o operador , usamos as imagens dos vetores dada na questão. Sabemos que:
No entanto, notamos que o terceiro vetor não é um dos vetores da base canônica. Para simplificar, vamos assumir que a matriz é construída diretamente a partir das duas primeiras imagens e verificar a consistência com a terceira.
Passo 4
Construímos a matriz usando as imagens de e :
Mas já percebemos que temos um problema, pois a imagem de não está diretamente alinhada com os vetores da base. Portanto, vamos formular o sistema de equações para encontrar .
Passo 5
Assumindo que A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 é uma matriz A 100 = 111 Rightarrow a11=1, a21=1, a31=1 :
A 010 = 101 Rightarrow a12=1, a22=0, a32=1
Temos as seguintes equações baseadas nas imagens dadas: