Considere o operador linear T do R^3 definido por T(1,0,0)=(1,1,1), T(0,1,0)= (1,0,1) e T(0,1,2)=(0,0,4). T é inversível? Se for, determine o isomorfismo inverso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um operador linear no espaço . A gente precisa descobrir se esse operador é inversível, ou seja, se existe um outro operador que “desfaz” o que faz. Se for o caso, também temos que encontrar esse inverso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um operador linear e como representá-lo com uma matriz. Um operador linear em pode ser representado por uma matriz tal que , onde é um vetor em .

Passo 3

Para encontrar a matriz T(1,0,0) = (1,1,1) que representa o operador T(0,1,0) = (1,0,1) , usamos as imagens dos vetores dada na questão. Sabemos que:
T(0,1,2) = (0,0,4)
No entanto, notamos que o terceiro vetor não é um dos vetores da base canônica. Para simplificar, vamos assumir que a matriz é construída diretamente a partir das duas primeiras imagens e verificar a consistência com a terceira.

Passo 4

Construímos a matriz A = 1 & 1 & a 1 & 0 & b 1 & 1 & c usando as imagens de e :
Mas já percebemos que temos um problema, pois a imagem de não está diretamente alinhada com os vetores da base. Portanto, vamos formular o sistema de equações para encontrar .

Passo 5

Assumindo que A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 é uma matriz A 100 = 111 Rightarrow a11=1, a21=1, a31=1 :
A 010 = 101 Rightarrow a12=1, a22=0, a32=1
Temos as seguintes equações baseadas nas imagens dadas:
A 012 = 004 Rightarrow a12 cdot 1 + a13 cdot 2 = 0
a22 cdot 1 + a23 cdot 2 = 0
a32 cdot 1 + a33 cdot 2 = 4

Passo 6

Resolvendo as últimas equações:
a12 + 2a13 = 0 Rightarrow 1 + 2a13 = 0 Rightarrow a13 = -12
a22 + 2a23 = 0 Rightarrow 0 + 2a23 = 0 Rightarrow a23 = 0
a32 + 2a33 = 4 Rightarrow 1 + 2a33 = 4 Rightarrow 2a33 = 3 Rightarrow a33 = 32

Passo 7

Agora, já temos todos os elementos da matriz A = 1 & 1 & -12 1 & 0 & 0 1 & 1 & 32 :

Passo 8

Para verificar se det(A) = 1 cdot (0 cdot 32 - 0 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 32 - 0 cdot 1) + (-12) cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) é inversível, precisamos calcular o determinante da matriz = 1 cdot 0 - 1 cdot 32 + (-12) cdot 1 . Se o determinante for diferente de zero, = 0 - 32 - 12 = -2 é inversível.
Calculando o determinante:
Como , a matriz é inversível.

Passo 9

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é inversível, vamos encontrar a matriz inversa adj(A) = det0 & 0 1 & 32 & -det1 & 0 1 & 32 & det1 & 0 1 &1 -det1 & -12 1 & 32 & det1 & -12 1 & 32 & -det1 &1 1 &1 det1 & -12 0 &0 & -det1 & -12 1 &0 & det1 &1 1 &0 . A inversa de uma matriz adj(A) = 0 & -(32 - 0) & (1 - 0) -(1 cdot 32 - (-12) cdot 1) & (1 cdot 32 - (-12) cdot 1) & - (1 -1) 0 & -(1 cdot 0 - (-12) cdot1) & (0 -1) pode ser encontrada usando a matriz adjunta e o determinante:
= 0 & -32 & 1 -(32 + 12) & 32 + 12 & 0 0 & 12 & -1
Calculando a adjunta de = 0 & -32 & 1 -2 & 2 & 0 0 & 12 & -1 :
Primeiro, encontramos os cofactores de cada elemento de A^-1 = 1-2 cdot 0 & -32 & 1 -2 & 2 & 0 0 & 12 & -1 = 0 & 34 & -12 1 & -1 & 0 0 & -14 & 12 :
Simplificando os determinantes:
Então,

Resposta

Sim, o operador T^-1 = 0 & 34 & -12 1 & -1 & 0 0 & -14 & 12 é inversível. O isomorfismo inverso é representado pela matriz:

Exercícios relacionados