(a) quatro pontos distintos de ;
(b) se ;
© se (d) se ;
(e) interseção com eixo ; (f) interseção com plano span .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão tem várias partes e está relacionada a um plano no espaço vetorial de quatro dimensões. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como espaço gerado por vetores (span), verificar se um ponto está no plano, e encontrar interseções com eixos e outros planos. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Quatro pontos distintos de
Primeiro, precisamos encontrar quatro pontos que pertencem ao plano . Sabemos que . Isso significa que qualquer ponto em pode ser escrito como:
onde e são escalares. Vamos escolher diferentes valores para e para obter quatro pontos distintos.

Passo 3

Vamos escolher:
  1. , :
  2. , :
  3. , :
  4. , :
Assim, temos quatro pontos distintos em : , , e .

Passo 4

Parte (b): Verificar se
Para verificar se o ponto está em , precisamos encontrar escalares e que satisfaçam:
Isso resulta no sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 5

Resolvendo:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
Isso é impossível! Portanto, não existe e que satisfazem as equações. Logo, o ponto não está em .

Passo 6

Parte ©: Verificar se
Vamos verificar se o ponto pertence a . Observando a definição de :
Para e , temos:
Portanto, o ponto está claramente em .

Passo 7

Parte (d):
Essa parte parece ser uma definição de , então já consideramos essa forma nas partes anteriores. Podemos usá-la para resolver as próximas partes.

Passo 8

Parte (e): Interseção com o eixo
O eixo no espaço é constituído por pontos onde apenas a segunda coordenada é diferente de zero, ou seja, pontos da forma . Vamos encontrar se há algum ponto em que se encaixe nessa forma.
Então, buscamos e tais que:
Isso nos dá o sistema:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 9

Da primeira e terceira equações:
Subtraindo a primeira da terceira:
Isso é impossível. Portanto, não existe ponto em que intersecta o eixo .

Passo 10

Parte (f): Interseção com o plano
O plano consiste em todos os pontos da forma , onde e são escalares. Queremos encontrar se existe algum ponto em que também está neste plano.
Então, buscamos e tais que:
Isso nos dá o sistema:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 11

Resolvendo:
  1. Da segunda equação:
  2. Da terceira equação:
Igualando as duas expressões para :
  1. Substituindo em :
  2. Encontrando e :
    • Da primeira equação:
    • Da quarta equação:
Portanto, o ponto de interseção é .

Resposta

(a) Quatro pontos distintos em : , , e .
(b) O ponto não está em .
© O ponto está em .
(e) Não há interseção de com o eixo .
(f) A interseção de com o plano é o ponto .

Exercícios relacionados

Escrever as equações das hipérboles, em relação às quais se dão as seguintes condições:
(a) Medida do eixo transverso 8; focos e .
Determine em cada caso os vértices e , os focos e e as assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço de cada uma.
Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
focos , eixo real de medida 2 ;
Determine os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas das hipérboles dadas a seguir. Faça-um esboço.