Beleza, vamos lá! A questão tem várias partes e está relacionada a um plano no espaço vetorial de quatro dimensões. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como espaço gerado por vetores (span), verificar se um ponto está no plano, e encontrar interseções com eixos e outros planos. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Quatro pontos distintos de
Primeiro, precisamos encontrar quatro pontos que pertencem ao plano . Sabemos que . Isso significa que qualquer ponto em pode ser escrito como:
onde e são escalares. Vamos escolher diferentes valores para e para obter quatro pontos distintos.
Passo 3
Vamos escolher:
, :
, :
, :
, :
Assim, temos quatro pontos distintos em : , , e .
Passo 4
Parte (b): Verificar se
Para verificar se o ponto está em , precisamos encontrar escalares e que satisfaçam:
Isso resulta no sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 5
Resolvendo:
Da terceira equação:
3 - s + t = 3 implies -s + t = 0 implies t = s
Substituindo t = s na primeira equação:
1 - s + s = 2 implies 1 = 2
Isso é impossível! Portanto, não existe s e t que satisfazem as equações. Logo, o ponto (2,5,3,4)não está em Pi.
Portanto, o ponto (1,1,3,3) está claramente em Pi.
Passo 7
Parte (d): Pi = (1,1,3,3) + span(-1,2,-1,2),(1,1,1,1)
Essa parte parece ser uma definição de Pi, então já consideramos essa forma nas partes anteriores. Podemos usá-la para resolver as próximas partes.
Passo 8
Parte (e): Interseção com o eixo y
O eixo y no espaço R^4 é constituído por pontos onde apenas a segunda coordenada é diferente de zero, ou seja, pontos da forma (0, y, 0, 0). Vamos encontrar se há algum ponto em Pi que se encaixe nessa forma.
Então, buscamos s e t tais que:
(1,1,3,3) + s cdot (-1,2,-1,2) + t cdot (1,1,1,1) = (0, y, 0, 0)
Isso nos dá o sistema:
1 - s + t = 0 1 + 2s + t = y 3 - s + t = 0 3 + 2s + t = 0
Vamos resolver esse sistema.
Passo 9
Da primeira e terceira equações:
1 - s + t = 0
3 - s + t = 0
Subtraindo a primeira da terceira:
(3 - s + t) - (1 - s + t) = 0 - 0 implies 2 = 0
Isso é impossível. Portanto, não existe ponto em Pi que intersecta o eixo y.
Passo 10
Parte (f): Interseção com o plano span(1,0,0,0),(0,0,0,1)
O plano span(1,0,0,0),(0,0,0,1) consiste em todos os pontos da forma (a,0,0,b), onde a e b são escalares. Queremos encontrar se existe algum ponto em Pi que também está neste plano.
Então, buscamos s e t tais que:
(1,1,3,3) + s cdot (-1,2,-1,2) + t cdot (1,1,1,1) = (a,0,0,b)
Isso nos dá o sistema:
1 - s + t = a 1 + 2s + t = 0 3 - s + t = 0 3 + 2s + t = b