(a) quatro pontos distintos de Pi;
(b) se (2,5,3,4) in Pi;
© se (1,1,3,3) in Pi ; (d) se Pi=(1,1,3,3)+span(-1,2,-1,2),(1,1,1,1);
(e) interseção com eixo y; (f) interseção com plano span (1,0,0,0),(0,0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão tem várias partes e está relacionada a um plano Pi no espaço vetorial de quatro dimensões. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como espaço gerado por vetores (span), verificar se um ponto está no plano, e encontrar interseções com eixos e outros planos. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Quatro pontos distintos de Pi
Primeiro, precisamos encontrar quatro pontos que pertencem ao plano Pi. Sabemos que Pi = (1,1,3,3) + span(-1,2,-1,2),(1,1,1,1). Isso significa que qualquer ponto em Pi pode ser escrito como:
Pi = (1,1,3,3) + s cdot (-1,2,-1,2) + t cdot (1,1,1,1)
onde s e t são escalares. Vamos escolher diferentes valores para s e t para obter quatro pontos distintos.

Passo 3

Vamos escolher:
  1. s = 0, t = 0:
    (1,1,3,3) + 0 cdot (-1,2,-1,2) + 0 cdot (1,1,1,1) = (1,1,3,3)
  2. s = 1, t = 0:
    (1,1,3,3) + 1 cdot (-1,2,-1,2) + 0 cdot (1,1,1,1) = (0,3,2,5)
  3. s = 0, t = 1:
    (1,1,3,3) + 0 cdot (-1,2,-1,2) + 1 cdot (1,1,1,1) = (2,2,4,4)
  4. s = 1, t = 1:
    (1,1,3,3) + 1 cdot (-1,2,-1,2) + 1 cdot (1,1,1,1) = (1,4,3,6)
Assim, temos quatro pontos distintos em Pi: (1,1,3,3), (0,3,2,5), (2,2,4,4) e (1,4,3,6).

Passo 4

Parte (b): Verificar se (2,5,3,4) in Pi
Para verificar se o ponto (2,5,3,4) está em Pi, precisamos encontrar escalares s e t que satisfaçam:
(2,5,3,4) = (1,1,3,3) + s cdot (-1,2,-1,2) + t cdot (1,1,1,1)
Isso resulta no sistema de equações:
1 - s + t = 2 1 + 2s + t = 5 3 - s + t = 3 3 + 2s + t = 4
Vamos resolver esse sistema.

Passo 5

Resolvendo:
  1. Da terceira equação:
    3 - s + t = 3 implies -s + t = 0 implies t = s
  2. Substituindo t = s na primeira equação:
    1 - s + s = 2 implies 1 = 2
Isso é impossível! Portanto, não existe s e t que satisfazem as equações. Logo, o ponto (2,5,3,4) não está em Pi.

Passo 6

Parte ©: Verificar se (1,1,3,3) in Pi
Vamos verificar se o ponto (1,1,3,3) pertence a Pi. Observando a definição de Pi:
Pi = (1,1,3,3) + span(-1,2,-1,2),(1,1,1,1)
Para s = 0 e t = 0, temos:
(1,1,3,3) + 0 cdot (-1,2,-1,2) + 0 cdot (1,1,1,1) = (1,1,3,3)
Portanto, o ponto (1,1,3,3) está claramente em Pi.

Passo 7

Parte (d): Pi = (1,1,3,3) + span(-1,2,-1,2),(1,1,1,1)
Essa parte parece ser uma definição de Pi, então já consideramos essa forma nas partes anteriores. Podemos usá-la para resolver as próximas partes.

Passo 8

Parte (e): Interseção com o eixo y
O eixo y no espaço R^4 é constituído por pontos onde apenas a segunda coordenada é diferente de zero, ou seja, pontos da forma (0, y, 0, 0). Vamos encontrar se há algum ponto em Pi que se encaixe nessa forma.
Então, buscamos s e t tais que:
(1,1,3,3) + s cdot (-1,2,-1,2) + t cdot (1,1,1,1) = (0, y, 0, 0)
Isso nos dá o sistema:
1 - s + t = 0 1 + 2s + t = y 3 - s + t = 0 3 + 2s + t = 0
Vamos resolver esse sistema.

Passo 9

Da primeira e terceira equações:
  1. 1 - s + t = 0
  2. 3 - s + t = 0
Subtraindo a primeira da terceira:
(3 - s + t) - (1 - s + t) = 0 - 0 implies 2 = 0
Isso é impossível. Portanto, não existe ponto em Pi que intersecta o eixo y.

Passo 10

Parte (f): Interseção com o plano span(1,0,0,0),(0,0,0,1)
O plano span(1,0,0,0),(0,0,0,1) consiste em todos os pontos da forma (a,0,0,b), onde a e b são escalares. Queremos encontrar se existe algum ponto em Pi que também está neste plano.
Então, buscamos s e t tais que:
(1,1,3,3) + s cdot (-1,2,-1,2) + t cdot (1,1,1,1) = (a,0,0,b)
Isso nos dá o sistema:
1 - s + t = a 1 + 2s + t = 0 3 - s + t = 0 3 + 2s + t = b
Vamos resolver esse sistema.

Passo 11

Resolvendo:
  1. Da segunda equação:
    1 + 2s + t = 0 implies t = -1 - 2s
  2. Da terceira equação:
    3 - s + t = 0 implies t = s - 3
Igualando as duas expressões para t:
-1 - 2s = s - 3 implies -1 + 3 = 3s implies 2 = 3s implies s = 23
  1. Substituindo s = 23 em t = -1 - 2s:
    t = -1 - 2 cdot 23 = -1 - 43 = -73
  2. Encontrando a e b:
    • Da primeira equação: a = 1 - 23 + (-73) = 1 - 23 - 73 = 1 - 3 = -2
    • Da quarta equação: b = 3 + 2 cdot 23 + (-73) = 3 + 43 - 73 = 3 - 1 = 2
Portanto, o ponto de interseção é (-2, 0, 0, 2).

Resposta

(a) Quatro pontos distintos em Pi: (1,1,3,3), (0,3,2,5), (2,2,4,4) e (1,4,3,6).
(b) O ponto (2,5,3,4) não está em Pi.
© O ponto (1,1,3,3) está em Pi.
(e) Não há interseção de Pi com o eixo y.
(f) A interseção de Pi com o plano span(1,0,0,0),(0,0,0,1) é o ponto (-2, 0, 0, 2).

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