Beleza, vamos lá! A questão tem várias partes e está relacionada a um plano no espaço vetorial de quatro dimensões. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como espaço gerado por vetores (span), verificar se um ponto está no plano, e encontrar interseções com eixos e outros planos. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Quatro pontos distintos de
Primeiro, precisamos encontrar quatro pontos que pertencem ao plano . Sabemos que . Isso significa que qualquer ponto em pode ser escrito como:
onde e são escalares. Vamos escolher diferentes valores para e para obter quatro pontos distintos.
Passo 3
Vamos escolher:
, :
, :
, :
, :
Assim, temos quatro pontos distintos em : , , e .
Passo 4
Parte (b): Verificar se
Para verificar se o ponto está em , precisamos encontrar escalares e que satisfaçam:
Isso resulta no sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 5
Resolvendo:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Isso é impossível! Portanto, não existe e que satisfazem as equações. Logo, o ponto não está em .
Vamos verificar se o ponto pertence a . Observando a definição de :
Para e , temos:
Portanto, o ponto está claramente em .
Passo 7
Parte (d):
Essa parte parece ser uma definição de , então já consideramos essa forma nas partes anteriores. Podemos usá-la para resolver as próximas partes.
Passo 8
Parte (e): Interseção com o eixo
O eixo no espaço é constituído por pontos onde apenas a segunda coordenada é diferente de zero, ou seja, pontos da forma . Vamos encontrar se há algum ponto em que se encaixe nessa forma.
Então, buscamos e tais que:
Isso nos dá o sistema:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 9
Da primeira e terceira equações:
Subtraindo a primeira da terceira:
Isso é impossível. Portanto, não existe ponto em que intersecta o eixo .
Passo 10
Parte (f): Interseção com o plano
O plano consiste em todos os pontos da forma , onde e são escalares. Queremos encontrar se existe algum ponto em que também está neste plano.