Em cada um dos Problemas 15 e 16, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata quando multiplicada pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas equações (dos Problemas 15 e 16) que, inicialmente, não são exatas. Isso significa que não conseguimos resolver diretamente essas equações usando métodos usuais. Mas tem um truque: multiplicar a equação por um fator integrante que torna a equação exata. Então, nosso objetivo é:
- Mostrar que a equação não é exata.
- Multiplicar pela fator integrante para torná-la exata.
- Resolver a equação exata resultante.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação exata. Uma equação diferencial da forma:
é exata se existir uma função
tal que:
Para verificar se a equação é exata, a gente confere se:
Se for igual, a equação é exata; se não, ela não é exata.
Passo 3
Vamos mostrar que a equação não é exata. Suponhamos que temos uma equação:
Calculamos as derivadas parciais:
Se essas derivadas forem diferentes, concluímos que a equação não é exata. Isso confirma a primeira parte da questão.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar a equação pelo fator integrante dado. O fator integrante
é uma função que, quando multiplicamos a equação original por ela, torna a equação exata:
Após a multiplicação, verificamos novamente:
Se essa igualdade for verdadeira, a equação se tornou exata.
Passo 5
Com a equação agora exata, podemos encontrar a função
que satisfaz:
Integrando
em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma função de
que aparece na integração. Depois, derivamos
em relação a
e igualamos a
para determinar
.
Resposta
Seguindo os passos acima, conseguimos transformar a equação original em uma equação exata usando o fator integrante dado e, então, resolver para encontrar a função
que representa a solução da equação diferencial. A solução final será da forma:
Onde
é uma constante de integração.