Mostre que se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. A questão pede para mostrar que se o campo vetorial
é dado por
, então o rotacional de
, denotado por
, é igual ao vetor zero. Para isso, vamos usar a definição do rotacional e calcular cada componente passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial. Em coordenadas cartesianas, o rotacional
é dado por:
Aqui,
,
e
são as componentes do campo
nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo
:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para encontrar o rotacional.
Passo 4
Calculando as componentes do rotacional:
- Para a componente
:
Então,
- Para a componente
:
Então,
- Para a componente
:
Então,
Resposta
Assim, juntando todas as componentes, temos:
Exercícios relacionados
Teoria e exemplos
19. Circulação zero Utilize a identidade (Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
19. Circulação zero Utilize a identidade
Em cada um dos Problemas 15 e 16, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata quando multiplicada pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação.
Circulação zero Seja
. Mostre que a circulação em sentido horário do campo
ao redor da circunferência
no plano
é zero:
Determine se a série é convergente ou divergente.