Mostre que se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. A questão pede para mostrar que se o campo vetorial
é dado por
, então o rotacional de
, denotado por
, é igual ao vetor zero. Para isso, vamos usar a definição do rotacional e calcular cada componente passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial. Em coordenadas cartesianas, o rotacional
é dado por:
Aqui,
,
e
são as componentes do campo
nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo
:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para encontrar o rotacional.
Passo 4
Calculando as componentes do rotacional:
- Para a componente
:
Então,
- Para a componente
:
Então,
- Para a componente
:
Então,
Resposta
Assim, juntando todas as componentes, temos: