Mostre que se F = x i + y j + z k, então nabla x F = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. A questão pede para mostrar que se o campo vetorial F é dado por , então o rotacional de F, denotado por , é igual ao vetor zero. Para isso, vamos usar a definição do rotacional e calcular cada componente passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial. Em coordenadas cartesianas, o rotacional é dado por:
Aqui, , e são as componentes do campo F nas direções i, j e k, respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo F:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para encontrar o rotacional.

Passo 4

Calculando as componentes do rotacional:
  1. Para a componente i:
Então,
  1. Para a componente j:
Então,
  1. Para a componente k:
Então,

Resposta

Assim, juntando todas as componentes, temos:

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