Mostre que se , então .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. A questão pede para mostrar que se o campo vetorial é dado por , então o rotacional de , denotado por , é igual ao vetor zero. Para isso, vamos usar a definição do rotacional e calcular cada componente passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial. Em coordenadas cartesianas, o rotacional é dado por:
Aqui, , e são as componentes do campo nas direções , e , respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo :
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para encontrar o rotacional.

Passo 4

Calculando as componentes do rotacional:
  1. Para a componente :
Então,
  1. Para a componente :
Então,
  1. Para a componente :
Então,

Resposta

Assim, juntando todas as componentes, temos:

Exercícios relacionados

Teoria e exemplos
19. Circulação zero Utilize a identidade (Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
Em cada um dos Problemas 15 e 16, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata quando multiplicada pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação.
Circulação zero Seja . Mostre que a circulação em sentido horário do campo ao redor da circunferência no plano é zero:
Determine se a série é convergente ou divergente.