Teoria e exemplos
19. Circulação zero Utilize a identidade (Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a circulação de certos campos vetoriais ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço é zero. Para isso, vamos usar a identidade e o Teorema de Stokes. Precisamos entender o que é circulação, o que significa o rotacional de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Stokes nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre circulação. A circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada é dada pela integral de linha:
Isso basicamente mede o quanto o campo está “girando” ao longo da curva .

Passo 3

Agora, o Teorema de Stokes é uma ferramenta poderosa que relaciona a circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva com o rotacional desse campo sobre a superfície limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Stokes é:
Aqui, é a superfície lisa orientável e é o vetor normal a essa superfície.

Passo 4

A identidade que a questão cita é . Vamos entender isso: se é o gradiente de uma função escalar , ou seja, , então o rotacional de é zero. Matemáticamente:
Isso nos diz que campos que são gradientes de funções escalares não têm “giro”, ou seja, seu rotacional é nulo.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Stokes com a informação que temos, substituímos na integral de superfície:
Isso mostra que a circulação de ao redor de é zero.

Resposta

Portanto, a circulação dos campos vetoriais mencionados ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço é zero.

Exercícios relacionados

Em cada um dos Problemas 15 e 16, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata quando multiplicada pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação.

,
Mostre que se , então .
Circulação zero Seja . Mostre que a circulação em sentido horário do campo ao redor da circunferência no plano é zero: