Teoria e exemplos
19. Circulação zero Utilize a identidade
(Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
19. Circulação zero Utilize a identidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a circulação de certos campos vetoriais ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço é zero. Para isso, vamos usar a identidade
e o Teorema de Stokes. Precisamos entender o que é circulação, o que significa o rotacional de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Stokes nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre circulação. A circulação de um campo vetorial
ao redor de uma curva fechada
é dada pela integral de linha:
Isso basicamente mede o quanto o campo está “girando” ao longo da curva
.
Passo 3
Agora, o Teorema de Stokes é uma ferramenta poderosa que relaciona a circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva com o rotacional desse campo sobre a superfície limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Stokes é:
Aqui,
é a superfície lisa orientável e
é o vetor normal a essa superfície.
Passo 4
A identidade que a questão cita é
. Vamos entender isso: se
é o gradiente de uma função escalar
, ou seja,
, então o rotacional de
é zero. Matemáticamente:
Isso nos diz que campos que são gradientes de funções escalares não têm “giro”, ou seja, seu rotacional é nulo.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Stokes com a informação que temos, substituímos
na integral de superfície:
Isso mostra que a circulação de
ao redor de
é zero.
Resposta
Portanto, a circulação dos campos vetoriais mencionados ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço é zero.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas 15 e 16, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata quando multiplicada pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação.
Mostre que se
, então
.
Circulação zero Seja
. Mostre que a circulação em sentido horário do campo
ao redor da circunferência
no plano
é zero: