,

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um campo vetorial dado por e uma superfície parametrizada por com e . O que precisamos fazer aqui é calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies, produto vetorial e integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . A parametrização descreve um cone invertido, onde vai de 0 a 5 e de 0 a . Essa superfície é um cone com o vértice no ponto e abre para baixo até o plano .

Passo 3

Para calcular o fluxo do campo através de , usamos a fórmula:
onde é o vetor normal à superfície , e é o elemento de área da superfície.

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície em termos de e . Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 5

Agora, encontramos o vetor normal usando o produto vetorial dos vetores tangentes:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:

Passo 6

O próximo passo é encontrar a magnitude do vetor normal para obter o elemento de área :
Então,

Passo 7

Agora, precisamos expressar o campo na parametrização da superfície . Substituindo , e em :
Simplificando:

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar :
Expandindo cada termo:
Simplificando:
Combine os termos semelhantes:

Passo 9

Agora, configuramos a integral de fluxo:
Substituindo pela expressão obtida no passo anterior e simplificando, eventualmente integrando termo a termo.

Passo 10

Após realizar todas as integrações necessárias, obtemos o fluxo total do campo através da superfície .

Resposta

Após calcular todas as integrais, o fluxo do campo vetorial através da superfície é .

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