,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um campo vetorial dado por
e uma superfície
parametrizada por com
e
. O que precisamos fazer aqui é calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies, produto vetorial e integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. A parametrização descreve um cone invertido, onde
vai de 0 a 5 e
de 0 a
. Essa superfície é um cone com o vértice no ponto
e abre para baixo até o plano
.
Passo 3
Para calcular o fluxo do campo
através de
, usamos a fórmula:
onde
é o vetor normal à superfície
, e
é o elemento de área da superfície.
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície
em termos de
e
. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 5
Agora, encontramos o vetor normal
usando o produto vetorial dos vetores tangentes:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Passo 6
O próximo passo é encontrar a magnitude do vetor normal para obter o elemento de área
:
Então,
Passo 7
Agora, precisamos expressar o campo
na parametrização da superfície
. Substituindo
, e
em
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, calculamos o produto escalar
:
Expandindo cada termo:
Simplificando:
Combine os termos semelhantes:
Passo 9
Agora, configuramos a integral de fluxo:
Substituindo
pela expressão obtida no passo anterior e simplificando, eventualmente integrando termo a termo.
Passo 10
Após realizar todas as integrações necessárias, obtemos o fluxo total do campo
através da superfície
.
Resposta
Após calcular todas as integrais, o fluxo do campo vetorial
através da superfície
é
.