Em cada um dos Problemas 16 a 18, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.
16.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial e precisamos descobrir qual é a ordem dela e dizer se ela é linear ou não linear. Para isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa.
Passo 2
Primeiro, ordem da equação diferencial é definida pelo maior grau da derivada que aparece na equação. Olhando para a equação dada:
Aqui,
e
representam as derivadas segundas de
em relação a
e
respectivamente. O termo
pode parecer confuso, mas geralmente isso significa a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Então, temos três derivadas:
,
e
, todas de segunda ordem. Não há derivadas de ordem superior, então a ordem da equação é 2.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre linearidade. Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não estão multiplicadas entre si ou por funções delas mesmas.
Na nossa equação:
Cada termo contém apenas uma derivada de
e não há produtos ou potências dessas derivadas. Além disso, todos os coeficientes são constantes (no caso, 1).
Passo 5
Como todos os termos seguem essas regras, podemos concluir que a equação é linear.
Resposta
A equação diferencial é de segunda ordem e é linear.