Nos Problemas 14 e 15, determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
para
.
15.
15.
Passo 1
Vamos resolver o exercício 15, que pede para encontrar os valores de
para os quais a equação diferencial
tem uma solução da forma
para
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias, especificamente procurando soluções de forma exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução é da forma
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
que satisfazem a equação diferencial dada.
Passo 3
Calculamos a primeira e a segunda derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 5
Simplificamos cada termo:
Passo 6
Fatoramos
:
Como
para
, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 7
Expandimos e simplificamos a equação quadrática:
Passo 8
Resolvemos a equação quadrática
:
Então, os valores de
são:
Resposta
Os valores de
são
e
.