Nos Problemas 14 e 15, determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma para .
15.

Passo 1

Vamos resolver o exercício 15, que pede para encontrar os valores de para os quais a equação diferencial tem uma solução da forma para . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias, especificamente procurando soluções de forma exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução é da forma . Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem a equação diferencial dada.

Passo 3

Calculamos a primeira e a segunda derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 5

Simplificamos cada termo:

Passo 6

Fatoramos :
Como para , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 7

Expandimos e simplificamos a equação quadrática:

Passo 8

Resolvemos a equação quadrática :
Então, os valores de são:

Resposta

Os valores de são e .

Exercícios relacionados

Em cada um dos Problemas 1 a 8 :
G a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de .
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando .
5.
Em cada um dos Problemas 16 a 18, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.
16.
Considere a função dada pela tabela:
e o polinômio .
Verifique que .
Considere a função tabelada abaixo.
0.1 0.2 0.4 0.6 0.7
0.905 0.819 0.673 0.549 0.490
Dê uma estimativa para o erro cometido no item anterior.