Nos Problemas 14 e 15, determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y = t' para t > 0.
15. t^2 y'' - 4 t y' + 4 y = 0

Passo 1

Vamos resolver o exercício 15, que pede para encontrar os valores de para os quais a equação diferencial tem uma solução da forma para . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias, especificamente procurando soluções de forma exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução é da forma . Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem a equação diferencial dada.

Passo 3

Calculamos a primeira e a segunda derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 5

Simplificamos cada termo:

Passo 6

Fatoramos :
Como para , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 7

Expandimos e simplificamos a equação quadrática:

Passo 8

Resolvemos a equação quadrática :
Então, os valores de são:

Resposta

Os valores de são e .

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