1. Considere a equação diferencial
dy/dt = a*y + b
em que a e b são números positivos.
a. Encontre a solução geral da equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo , onde e são números positivos. O assunto aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem, que são fundamentais para modelar diversas situações na física, economia, etc. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação diferencial para que possamos integrá-la facilmente.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser escrita como a derivada de um produto:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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