1. Considere a equação diferencial
em que e são números positivos.
a. Encontre a solução geral da equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo , onde e são números positivos. O assunto aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem, que são fundamentais para modelar diversas situações na física, economia, etc. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação diferencial para que possamos integrá-la facilmente.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser escrita como a derivada de um produto:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

N 1. Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe os gráficos das soluções para diversos valores de . Depois descreva, em poucas palavras, as semelhanças e diferenças entre as soluções.
a.
Resolva os seguintes PVIs:
Em cada um dos Problemas 16 a 18, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.
16.
Em cada um dos Problemas 1 a 8 :
G a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de .
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando .
5.