- Considere a equação diferencial
em que
e
são números positivos.
a. Encontre a solução geral da equação diferencial.
a. Encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
, onde
e
são números positivos. O assunto aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem, que são fundamentais para modelar diversas situações na física, economia, etc. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação diferencial para que possamos integrá-la facilmente.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser escrita como a derivada de um produto:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: