N 1. Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe os gráficos das soluções para diversos valores de
. Depois descreva, em poucas palavras, as semelhanças e diferenças entre as soluções.
a.
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Passo 1
Vamos entender o que a gente tem aqui. A gente precisa resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de equações lineares de primeira ordem:
Isso facilita a aplicação do método que vamos usar.
Passo 3
Agora, a gente encontra o fator integrante. É uma função que, quando multiplicada na equação, facilita a resolução. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
Isso transforma a equação de um jeito que a gente pode integrar facilmente.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Isso simplifica bastante a resolução.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 9
Substituímos
na solução geral:
Essa é a solução específica para a condição inicial dada.
Passo 10
Para diferentes valores de
, a solução mostra que
tende a 5 conforme
cresce. Se
,
começa acima de 5 e diminui até chegar lá. Se
, começa abaixo e aumenta até 5. Se
, fica constante em 5.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
. Para diversos valores de
, todas as soluções convergem para 5 conforme o tempo aumenta. A diferença está em quão rápido cada solução se aproxima de 5 e se começa acima ou abaixo desse valor.