N 1. Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe os gráficos das soluções para diversos valores de . Depois descreva, em poucas palavras, as semelhanças e diferenças entre as soluções.
a.

Passo 1

Vamos entender o que a gente tem aqui. A gente precisa resolver a equação diferencial com a condição inicial . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de equações lineares de primeira ordem:
Isso facilita a aplicação do método que vamos usar.

Passo 3

Agora, a gente encontra o fator integrante. É uma função que, quando multiplicada na equação, facilita a resolução. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
Isso transforma a equação de um jeito que a gente pode integrar facilmente.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Isso simplifica bastante a resolução.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos dividindo por :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 9

Substituímos na solução geral:
Essa é a solução específica para a condição inicial dada.

Passo 10

Para diferentes valores de , a solução mostra que tende a 5 conforme cresce. Se , começa acima de 5 e diminui até chegar lá. Se , começa abaixo e aumenta até 5. Se , fica constante em 5.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é . Para diversos valores de , todas as soluções convergem para 5 conforme o tempo aumenta. A diferença está em quão rápido cada solução se aproxima de 5 e se começa acima ou abaixo desse valor.

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes PVIs:
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  1. Considere a equação diferencial
em que e são números positivos.
a. Encontre a solução geral da equação diferencial.
Em cada um dos Problemas 16 a 18, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.
16.